Domaine (de dérivation) d'une fonction racine

Ici on traite un exemple de traitement de fonction formée avec des racines. Avant toute chose, il faut se souvenir que $\sqrt{\cdot}$ est continue sur $[0, \infty[$ et $C^\infty$ sur $]0,\infty[$. Elle n'est pas dérivable en $0$.

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De plus par composition des fonctions, la fonction est continue sur son domaine.

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Valeurs absolues et inégalités

On rappelle maintenant comment l'on résout une inégalité comportant des valeurs absolues.

En premier lien on simplifie l'écriture de chacune des valeurs absolue en fonction de la valeur de $x$ en se rappelant que $|X| =X$ si $X\geq 0$ et $|X|= -X$ si $X\leq 0$.

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On découpe ensuite l'axe réel en fonction des intervalles trouvés plus haut. On fait ensuite tomber les valeurs absolues. On résout sur les 4 zones différentes.

Attention, pour le 2, on voit que la solution est $x\geq 1$ mais la zone 2 est $[-1,1]$ ! Donc la solution venant du 2 est donc $\{1\}$ et non pas $[1, \infty[$.

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On continue la résolution. La solution est l'union des quatres solutions.

Inégalité et rappel sur les méthodes

On fait un rapide rappel sur comment résoudre une inégalité de type fraction rationnelle.

Ici, on met tout sur le même dénominateur et on fait une étude de signe. C'est la méthode la plus sûre.

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Ici on souhaite multiplier par $x-1$. Le problème (et le danger !) est que l'on ne connait pas son signe. On fait donc une étude de cas en étudiant d'une part $x<1$ et d'autre part $x>1$.

Suite arithmético-géométrique

Ici nous révisions le traitement des suites arithmético-géométriques dans le cadre de l'exercice 1 de la feuille d'ici. On pourra finir la feuille pour s'entrainer un peu plus.

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Tout d'abord on calcule le point fixe $l$. On pose ensuite $v_n:= u_n-l$.

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On montre que $(v_n)_{n\geq 0}$ est une suite géométrique.

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En utilisant ce que l'on sait sur les suites géométriques, on trouve l'expression de $u_n$.

Pour la résolution de $u_n\leq 100$, on fera attention de ne pas oublier les éléments de rédaction, comme $\ln$ est une fonction croissante.

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Attention ici on multiplie par $\ln(0.75)$, c'est un nombre négatif !

Enfin dernier piège, bien prendre le terme entier qui suit la valeur numérique trouvée.

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Enfin on donne la somme. Elle est facile à obtenir si on ne se trompe pas sur le nombre de termes dans la suite et si on connait la formule de la somme pour la suite géométrique.

2+2 = 22 ?

Dérivation d'un polynôme

Voici une application du calcul de somme géométrique. Il doit être connu car cela est une question classique pour les leçons de type "nombre dérivé et dérivation".

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Tout d'abord on fait le cas facile en $0$.

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On traite ensuite le cas en $1$. On remarque que c'est une somme géométrique qui apparait !

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Enfin on se ramène au cas $x_0=1$ en divisant par $x_0$ (qui est non nul !).

Somme géométrique - méthode alternative

On reprend l'exercice précédent autrement. On se base sur la preuve classique du calcul de la somme.

Attention, ici on a une suite géométrique de raison $2$, c'est pour cela qu'on multiplie par $2$ dans la deuxième ligne.