Dans cet exercice on étudie la suite donnée par $u_{n+1}= f(u_n)$ avec $f(x):= \sqrt{1+x}$ et $u_0=1$.
Ici l'exercice est en deux parties.
Ici l'exercice est en deux parties.
- La première est la plus classique et est basée sur la continuité et la croissante de $f$ (on avait déjà vu un exercice avec la décroissance de $f$).
- La deuxième partie est basée sur le fait que $f$ est "contractante", $f$ est dérivable et sa dérivée est strictement inférieure à $1$ sur un intervalle. Même si cela ressemble beaucoup à tuer une mouche avec un canon ici, cette méthode est très classique et utile pour donner l'approximation de certains nombres (qui sont donnés comme étant une solution de $x=f(x)$ ). Elle utilise de façon crucial le théorème des accroissements finis.
On commence toujours par l'étude de la fonction.
On intuite ensuite (comme on peut) le résultat avec un dessin de type colimaçon.
Ici en rouge on trouve une version alternative pour montrer que la suite est strictement croissante (qui n'est pas demandé ici).
Ici, la continuité est un élément essentiel. Ne pas le mentionner à ce moment est pour sûr une source de perte de points...
La partie classique de type "fonction croissante" est finie. On passe à la partie contractante.
On explique ici pourquoi on espère le résultat en se basant, sur le théorème des accroissements finis à chaque étape.
On repart sur la correction. D'un point de vue général, le point clé pour cette méthode marche si $|f'(l)|<1$ et si la dérivée est continue.
Ici intervient un suite géométrique.
On remarque que l'on aurait pu montrer directement que la suite converge grâce à cette méthode en montrant qu'elle est de Cauchy (comme l'espace est complet).
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