Pour le pi-day (3-14 = 14 mars), voici une vidéo très élégante sur comment calculer la valeur de pi.
vendredi 15 mars 2019
lundi 11 mars 2019
Explorer l'espace avec les maths #nasa
Sur le site de la nasa on trouve une série d'activités qui peuvent être faites avec des élèves de collège ou de lycée. Les textes sont en anglais mais facilement compréhensibles !
Sur les équations différentielles d'ordre 1
Soit $a\in C^0(I)$ où $I$ est un intervalle ouvert, non vide. On pose
\[(E)\quad\quad y' (x) + a(x) y(x) =0.\]
Les solutions réelles de $(E)$ sont alors données par
\[S=\{x\mapsto c e^{-A(x)}, \text{ avec } c\in \mathbb{R} \}\]
et où $A$ est une primitive de $a$ sur $I$.
Pour le démontrer, on prend $y$ une solution de $(E)$ et on pose $g(x)= y(x) e^{A(x)}$. On a :
\[g'(x)= y'(x)e^{A(x)} + y(x) a(x)e^{A(x)}= 0.\]
Donc $g$ est constante sur l'intervalle $I$. Donc il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que $g(x)=c$. Cela implique que $y(x)e^{A(x)}= c$ et donc $y(x) = ce^{-A(x)}$. On obtient donc :
\[S\subset\{x\mapsto c e^{-A(x)}, \text{ avec } c\in \mathbb{R} \}.\]
On fait maintenant l'inclusion inverse. On pose $c\in \mathbb{R}$ et on pose $Y(x):= c e^{-A(x)}$.
On a :
\[Y'(x) + a(x) Y(x) = - a(x)c e^{-A(x)} + a(x) c e^{-A(x)}=0.\]
Donc $Y\in S$. Ce qui donne l'autre inclusion et démontre bien le théorème.
Commentaires :
On retrouve souvent sur les copies la preuve suivante :
\begin{align*}
\frac{y'(x)}{y(x)}&= -a(x)
\\
\ln(y(x)) &= -A(x) +k, \text{ avec } k\in \mathbb{R}
\\
y (x)&= e^{-A(x)+ k} = \underbrace{e^{k}}_{cste} e^{-A(x)}.
\end{align*}
Et cela conclue en disant : donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est donné par $\{x\mapsto c e^{-A(x)}, c\in \mathbb{R}\}$.
Il y a beaucoup de fautes dans cette preuve malheureusement :
Une preuve rigoureuse de cette approche demande plus de précautions.
On commence par remarquer que
I) S'il existe $x_0\in I$ tel que $y(x_0)=0$ alors, le problème $(E)$ avec condition initiale $y(x_0)=0$ ayant une solution unique (par Cauchy-Lipshitz... qui n'est pas du programme du CAPES) et comme $y(x)=0$ est solution triviale alors c'est l'unique solution. En d'autres termes, si la solution s'annule en un point, elle est nulle.
II) On peut donc supposer que $y$ est de signe constante et ne s'annule pas sur $I$. Supposons que $y(x)>0$ sur $I$. On a alors le reste de la démonstration qui donne qu'il existe $c>0$ tel que
$y(x)= ce^{-A(x)}$.
Maintenant si $y(x)<0$ sur $I$, On a
\begin{align*}
\frac{y'(x)}{y(x)}&= -a(x)
\\
\ln(-y(x)) &= -A(x) +k, \text{ avec } k\in \mathbb{R}
\\
-y (x)&= e^{-A(x)+ k} = \underbrace{e^{k}}_{cste} e^{-A(x)}.
\end{align*}
et donc qu'il existe $c>0$ tel que $y(x)= -ce^{-A(x)}$.
III) Si on combine les trois cas on voit que si $y$ est solution alors on a qu'il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que
$y(x)= ce^{-A(x)}$.
\[(E)\quad\quad y' (x) + a(x) y(x) =0.\]
Les solutions réelles de $(E)$ sont alors données par
\[S=\{x\mapsto c e^{-A(x)}, \text{ avec } c\in \mathbb{R} \}\]
et où $A$ est une primitive de $a$ sur $I$.
Pour le démontrer, on prend $y$ une solution de $(E)$ et on pose $g(x)= y(x) e^{A(x)}$. On a :
\[g'(x)= y'(x)e^{A(x)} + y(x) a(x)e^{A(x)}= 0.\]
Donc $g$ est constante sur l'intervalle $I$. Donc il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que $g(x)=c$. Cela implique que $y(x)e^{A(x)}= c$ et donc $y(x) = ce^{-A(x)}$. On obtient donc :
\[S\subset\{x\mapsto c e^{-A(x)}, \text{ avec } c\in \mathbb{R} \}.\]
On fait maintenant l'inclusion inverse. On pose $c\in \mathbb{R}$ et on pose $Y(x):= c e^{-A(x)}$.
On a :
\[Y'(x) + a(x) Y(x) = - a(x)c e^{-A(x)} + a(x) c e^{-A(x)}=0.\]
Donc $Y\in S$. Ce qui donne l'autre inclusion et démontre bien le théorème.
Commentaires :
- Ici on résout sur $\mathbb{R}$ mais on pourrait résoudre sur $\mathbb{C}$. Il suffit de remplacer $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$ partout.
- Ici la constante dépend de $I$!! Si on résout une équation différentielle sur l'union de deux intervalles disjoints alors on a deux constantes !
On retrouve souvent sur les copies la preuve suivante :
\begin{align*}
\frac{y'(x)}{y(x)}&= -a(x)
\\
\ln(y(x)) &= -A(x) +k, \text{ avec } k\in \mathbb{R}
\\
y (x)&= e^{-A(x)+ k} = \underbrace{e^{k}}_{cste} e^{-A(x)}.
\end{align*}
Et cela conclue en disant : donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est donné par $\{x\mapsto c e^{-A(x)}, c\in \mathbb{R}\}$.
Il y a beaucoup de fautes dans cette preuve malheureusement :
- $y(x)$ pourrait s'annuler a priori.
- Il faudrait mettre $\ln(|y(x)|)$ à la deuxième ligne.
- La constante $c:=e^{k} >0$ et on conclue avec $c\in \mathbb{R}$.
Une preuve rigoureuse de cette approche demande plus de précautions.
On commence par remarquer que
I) S'il existe $x_0\in I$ tel que $y(x_0)=0$ alors, le problème $(E)$ avec condition initiale $y(x_0)=0$ ayant une solution unique (par Cauchy-Lipshitz... qui n'est pas du programme du CAPES) et comme $y(x)=0$ est solution triviale alors c'est l'unique solution. En d'autres termes, si la solution s'annule en un point, elle est nulle.
II) On peut donc supposer que $y$ est de signe constante et ne s'annule pas sur $I$. Supposons que $y(x)>0$ sur $I$. On a alors le reste de la démonstration qui donne qu'il existe $c>0$ tel que
$y(x)= ce^{-A(x)}$.
Maintenant si $y(x)<0$ sur $I$, On a
\begin{align*}
\frac{y'(x)}{y(x)}&= -a(x)
\\
\ln(-y(x)) &= -A(x) +k, \text{ avec } k\in \mathbb{R}
\\
-y (x)&= e^{-A(x)+ k} = \underbrace{e^{k}}_{cste} e^{-A(x)}.
\end{align*}
et donc qu'il existe $c>0$ tel que $y(x)= -ce^{-A(x)}$.
III) Si on combine les trois cas on voit que si $y$ est solution alors on a qu'il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que
$y(x)= ce^{-A(x)}$.
samedi 9 mars 2019
Sur le raccordement des solutions d'équation différentielles
On commence par des rappels
Attention : Ici la constante $c$ dans la première partie dépend de l'intervalle sur lequel on résout !
On met en place la méthode par "devinette" pour deviner la solution particulière.
On met maintenant en place la solution avec variation de la constante.
L'échauffement étant terminé on cherche à résoudre une équation qui contient un terme à côté du $y'$. Pour se ramener au cas précédent on divise par ce terme. Comme on n'a pas le droit de diviser par $0$, cela brise l'intervalle de résolution en deux parties. On résout donc sur les deux intervalles de façon indépendantes !!
Au passage, on n'oublie pas la petite valeur absolue dans le $\ln$ quand on intègre du $1/x$...
Chaque intervalle a sa propre constante. La question est donc de savoir s'il existe des constantes qui permettent d'écrire une solution qui soit de classe $C^1(\mathbb{R})$.
On regarde premier lieu si les solutions des deux intervalles se prolongent par continuité en $1$. Ici la division euclidienne intervient pour lever l'indétermination de la limite.
Une seule constante à droite et une seule à gauche permet un prolongement par continuité. Si une solution existe sur $\mathbb{R}$ alors c'est avec ces constantes.
Il reste à voir la réciproque : est-ce que ce candidat est bien solution du problème initiale. La réponse est positive ici.
Plus d'exercices sur les équations différentielles ici !
jeudi 7 mars 2019
lundi 4 mars 2019
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