Sur l'argument principal

On pointe un piège important sur le sujet des arguments. On a

$e^{ia}e^{ib}= e^{i(a+b)}$. 

Cela implique que l'argument d'un produit est la somme des arguments, c'est-à-dire :

$\arg(ab)= \arg(a)+\arg(b) \mod (2 \pi)$

autrement dit

$\arg(ab)= \arg(a)+\arg(b) +2 k\pi,$

où $k\in \mathbb{Z}$. Attention l'argument n'est pas un réel mais une classe d'équivalence modulo $2\pi$. Il est abusif (bien que très courant) de dire que l'argument de $e^{i\pi/4}$ est $\pi/4$. Il convient de dire que l'argument est $\pi/4$ modulo $2\pi$.

Pour se simplifier la vie (vraiment ?) on introduit alors l'argument principal : $\arg_p(a)$ est l'unique $\arg(a)$ qui appartient à $]-\pi, \pi]$. On est alors content d'avoir un réel et non plus une classe d'équivalence mais cependant on perd une propriété fondamental : en général, l'égalité

$\arg_p(ab)= \arg_p(a)+\arg_p(b)$

est fausse. 

Cette faute est malheureusement commune et est létale à l'oral du concours.

Comme contre exemple, on a : 

$0=\arg_p(2\pi)\neq \arg_p(\pi)+\arg_p(\pi)= 2\pi.$

Sur les nombres complexes - premier balayage

Des rappels rapides sont disponibles ici. Les exercices de bases à maîtriser sont

• forme algébrique d'une somme, d'un produit et surtout d'un quotient (important : on multiplie par le conjugué du dénominateur en haut et en bas)
• forme polaire/exponentielle d'un nombre complexe, d'un produit et d'un quotient (important : pour les deux derniers il est souvent vital de traiter chaque élément du produit ou du quotient séparément et de conclure avec la formule de Moivre)
• résolution d'équations d'ordre 2 à coefficients réels (voir ici pour des applications)

La résolution d'équation d'ordre 2 est importante dans les oraux pour la résolution d'équation linéaire d'ordre deux, e.g. ici et là, et aussi les équations différentielles ordinaire d'ordre 2 (circuit RLC...).

Pour les circuits électriques : 

• Pour les plus "physiciens", on trouve cela.
• Peut-être plus simple d'approche mais aussi plus variée on trouve ceci (section 3).

Dans un deuxième temps il convient de maîtriser :

• racine $n$-ième de l'unité / d'un nombre complexe (des exemples, un oral)
• racine carré d'un nombre complexe (méthode par le forme algébrique ET méthode par la forme exponentielle) (voir ici dans la dernière section pour la forme algébrique)
• résolution d'équations d'ordre 2 à coefficients complexes. (voir ici dans la dernière section)

Construction à la règle et au compas (mais aussi au rapporteur !)

Pas besoin de théorie de Galois pour le coup !

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Des points perdus bêtement

Perdre des points quand on sait faire le calcul mais pas rédiger est parfois frustrant. Il convient alors d'apprendre à rédiger correctement. Voici quelques "mauvaises" rédactions. Ce recueil n'a rien d'exhaustif malheureusement...

Conseil 1 : quand on voit dit d'apprendre un résultat par coeur, il faut le faire ou savoir le refaire très rapidement. Non il ne faut pas croire qu'on vous redonnera la formule de Taylor avec reste intégral juste pour être sympa.

Conseil 2 : Sur cette copie on accumule les points négatifs d'une façon clairement évitable.

a) Une primitive de $\frac{f'}{f}$ n'est pas $\ln (f)$ mais $\ln(|f|)$. Pour vous en convaincre essayer de calculer $\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} dx$.

b) Avant de faire un calcul de dérivation, il faut d'abord justifier que la dérivée existe (sinon on n'a pas le droit d'utiliser les formules !), la phrase type est souvent $f$ est le quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas.

c) La dérivée de $\sin$ est $\cos$ mais la dérivée de $\sin(x)$ est $0$ [car c'est une constante !] par contre $(\sin)'(x)=\cos(x)$.

Conseil 3 : Apprenez à utiliser correctement les théorèmes (vous devez vérifier les hypothèses et/ou les rappeler)

On rappelle donc les principaux théorèmes pour les fonctions réciproques : Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb(R)$ et $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction bijective. Soit $J:=f(I)$ l'image de $I$ par $f$. Pour les preuves on pourra regarder le cours suivant.

a) Si $f$ est continue alors $J$ est un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires)

b) Si $f$ est continue strictement [dé]croissante alors la fonction $f^{-1}:J \to I$, qui est définie pour tout $y\in J$ par $f^{-1}(y)$ est l'unique $x\in I$ tel que $f(x)=y$, est une fonction continue strictement [dé]croissante. (théorème d'homéomorphisme)

c) Si $f$ est dérivable strictement [dé]croissante dont la dérivée ne s'annule pas, alors la fonction $f^{-1}:J \to I$ est une fonction continue strictement [dé]croissante dont la dérivée ne s'annule pas. De plus, on a : $(f^{-1})'(f(x))= \frac{1}{f'(x)}$.