Remboursement d'un crédit

 On considère le cas d'un crédit de 5 000 euros avec un taux annuel de 2,4% et une mensualité de 100 euros. Le taux mensuel est donc de 0,2%. On pose $u_n$ le montant à rembourser au mois $n$. On a alors

$$u_{n+1}=\frac{1002}{1000}u_n-100,$$

avec $u_0=5000$. C'est une suite arithmético-géométrique. On commence par trouver le point fixe.

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On obtient donc l'expression de $(u_n)$. On remarque que sa limite est $-\infty$, cela veut dire qu'il existe un $n$ à partir duquel la suite sera négative. Le crédit est remboursable. 

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On cherche à calculer le nombre de mois pour rembourser.

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On calcule enfin ce que le crédit nous a vraiment coûté. 

Étude d'une suite arithmético-géométrique

On étudie la suite $$u_{n+1}= \frac{2}{10} u_n +8$$ avec $u_0=2$. On commence par trouver le point fixe de la suite. Puis, dans le 1) on construit une suite annexe $(v_n)$ qui est géométrique.

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Comme on connait tout sur les suites géométiques, on a l'expression explicite de $v_n$ pour tout $n$. On peut alors déduire l'expression de $(u_n)$.

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Une question moins fréquente est celle du calcul de la somme de $u_n$. La formule générale n'est pas à connaître mais il faut bien retenir la méthode.

Application des suites géométriques - flocon de Kock et triangle de Siepinski

On calcule la longueur du flocon de Koch à l'aide suite géométrique. On peut se référer à wikipédia pour plus de contexte et aller plus loin. 

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Pour le triangle Sierpinski, on pourra lire le wikipédia.

MathemaTICE

Les TICE sont essentiels pour l'oral du CAPES mais aussi dans le métier de professeurs de mathématique. 

La revue MathemaTICE est une revue collaborative portant sur l’utilisation des TICE en classe de Mathématiques. Elle est collaborative car elle se nourrit essentiellement des témoignages, des expériences et des recherches des professeurs de Mathématiques et des chercheurs, en coopération avec le comité de rédaction pour enrichir ou expliciter certains points des articles proposés.

Sur la dérivation de $x\mapsto x^n$

Soit $f: I\to \mathbb{R}$ où $I$ est un interval et $a\in I$.

Le nombre dérivée de $f$ en un point $a$ est donné par

\[\lim_{x\to a} \frac{f(x)- f(a)}{x-a}.\]

Cette limite n'existe pas en générale. S'il existe on le note $f'(a)$. On dit que $f$ est dérivable en $a$.

Quand on demande de calculer le nombre dérivé il faut d'abord montrer que la limite existe avant de mettre le symbole $\lim$ devant le calcul.

Prenons le cas de $f(x)= x^n$ avec $a\in \mathbb{R}$. On a :

\begin{align*}\frac{x^n- a^n}{x-a} &= \frac{(x-a)(x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n)}{x-a}\\ &= (x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n).\end{align*}

Alors que la limite est indéterminée pour le membre de gauche, il n'est pas légal de mettre le symbole limite de prime abord. Cependant grâce à la dernière ligne, il n'y a plus d'indétermination, je peux donc passer à la limite. On continue la rédaction comme suit:

\begin{align*} \lim_{x\to a}\frac{x^n- a^n}{x-a} &= \lim_{x\to a} \underbrace{x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n}_{ n\, {\rm termes}} = n a^n.\end{align*}

Cela étant dit, cette exercice est facile, mais rédactionnel, tant qu'on sait que

\[(x^n- a^n) = (x-a)(x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n).\]

Si l'on ne demande pas de preuve et qu'on cherche juste à s'en souvenir, on peut par exemple faire une division euclidienne et voir comment se comportent les premiers termes :

Si l'on ne veut pas se lancer dans une récurrence, on peut aussi redémontrer cela en s'appuyant sur le cours des suites géométriques comme suit :

Correction de l'exercice sur la distance à l'horizon

Préambule : C'est une version alternative à l'article donné ici et qui va un peu plus loin. Il permet de réviser la notion de tangente à une courbe et la caractérisation de l'orthogonalité des droites dans le plan. C'est aussi une bonne application au théorème de Pythagore.

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Code en Python - suite récurrente

Ici je donne un code en Python 3 pour tracer le "colimaçon" donné par la suite

\[u_{n+1}= cos (u_n), \quad u_0= 1.4\]

u[ 0 ]= 1.4
u[ 1 ]= 0.1699671429 
u[ 2 ]= 0.985590325219
u[ 3 ]= 0.552371116616
u[ 4 ]= 0.851282774319
u[ 5 ]= 0.659018879935
u[ 6 ]= 0.790593392425
u[ 7 ]= 0.703423673509
u[ 8 ]= 0.762632118004
u[ 9 ]= 0.723020179449

Attention pour copier le code il faut avoir sélectionner l'article du blog et non d'essayer de le copier de la page principale du blog (car sinon il va compiler le latex qui est dans le code...)

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# on importe tout d'abord la librairie de maths
# le "as np" permet d'appeler une fonction de numpy en écrivant np seulement
# par exemple np.sin est pour le sinus
import numpy as np

# on importe la librairie de dessin
import matplotlib.pyplot as plt

# on définit notre fonction f
def f(x):
    return np.cos(x)
# on définit la suite u, ce sera un "array", u[0]=1.4 pour le moment
u=[1.4]
# on définit le nombre de point de récurrence
n=10
# on calcule maintenant les n itérations de la suite avec une boucle
# attention range(0,n) va de 0 à n-1.

for i in range(0,n):
    # les boucles les if et le reste sont fait avec des retraits (un tab)
    # avec u.append, on ajoute à l'array u un nouvel élément.
    # au premier tour on a u[1] qui est donné par f(u[0])
    # plus généralement, la commande u[i] va bien donner le i-ème terme de la suite
    u.append(f(u[i]))
    # on imprime les termes au fur et à mesure. Le vert est du texte et le noir
    # est de la donnée
    print('u[',i,']=',u[i])

# on définit les points d'abcisses qui vont servir pour tracer les fonctions
# on va de 0 à pi/2 (le np.pi appelle pi qui est dans la librairie numpy)
# et 0.01 est le pas
x=np.arange(0,np.pi/2,0.01)
# on trace x-> f(x) en b pour blue et - pour le choix du trait
# puis on trace x->x en r pour red et - pour le choix du trait
# en changeant le pas on rend le tracer de la fonction plus ou moins linéraire par morceaux
plt.plot(x, f(x), 'b-', x, x, 'r-')

# Ici on fait des axes jolis
ax = plt.gca()
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.spines['bottom'].set_position(('data',0))
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.spines['left'].set_position(('data',0))

# on trace maintenant les traits noir k correspond à black
for i in range(0,n-1):
    plt.plot([u[i], u[i+1]], [u[i+1], u[i+1]], 'k-')
    plt.plot([u[i+1], u[i+1]], [u[i+1], u[i+2]], 'k-')
    # dans la ligne suivante, on trace une ligne entre
    # (u[i],0) et u[i, u[i+1]]. Les "x" sont tous dans le premier crochet
    # et les "y" dans le deuxième
    # on met -- pour avoir un trait en pointillé
    plt.plot([u[i], u[i]], [0, u[i+1]], 'k--')
# il manque le dernier trait alors on le rajoute à la main
plt.plot([u[n-1], u[n-1]], [0, u[n]], 'k--')

# on rajoute des commentaires sur le graphe
plt.annotate('$u_0$', xy=(u[0], 0), xytext=(u[0]+.1, .1),
            arrowprops=dict(arrowstyle="->",
                            connectionstyle="arc3")
            )
plt.annotate('$u_1$', xy=(u[1], 0), xytext=(u[1]+.1, .1),
            arrowprops=dict(arrowstyle="->",
                            connectionstyle="arc3")
            )
# on met un titre, on peut taper en tex! 
plt.title('Etude de $u_{n+1}=f(u_n)$')
# on affiche le dessin
plt.show()

Exercice corrigé, fonction définie par récurrence (croissante + contractante)

Dans cet exercice on étudie la suite donnée par $u_{n+1}= f(u_n)$ avec $f(x):= \sqrt{1+x}$ et $u_0=1$.

Ici l'exercice est en deux parties.

• La première est la plus classique et est basée sur la continuité et la croissante de $f$ (on avait déjà vu un exercice avec la décroissance de $f$). 
• La deuxième partie est basée sur le fait que $f$ est "contractante", $f$ est dérivable et sa dérivée est strictement inférieure à $1$ sur un intervalle. Même si cela ressemble beaucoup à tuer une mouche avec un canon ici, cette méthode est très classique et utile pour donner l'approximation de certains nombres (qui sont donnés comme étant une solution de $x=f(x)$ ). Elle utilise de façon crucial le théorème des accroissements finis. 

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On commence toujours par l'étude de la fonction.

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On intuite ensuite (comme on peut) le résultat avec un dessin de type colimaçon.

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Ici en rouge on trouve une version alternative pour montrer que la suite est strictement croissante (qui n'est pas demandé ici).

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Ici, la continuité est un élément essentiel. Ne pas le mentionner à ce moment est pour sûr une source de perte de points...

La partie classique de type "fonction croissante" est finie. On passe à la partie contractante.

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On explique ici pourquoi on espère le résultat en se basant, sur le théorème des accroissements finis à chaque étape.

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On repart sur la correction. D'un point de vue général, le point clé pour cette méthode marche si $|f'(l)|<1$ et si la dérivée est continue.

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Ici intervient un suite géométrique. 

On remarque que l'on aurait pu montrer directement que la suite converge grâce à cette méthode en montrant qu'elle est de Cauchy (comme l'espace est complet). 

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Quelques méthodes pour montrer qu'une suite converge

Voici une liste (non-exhaustive) de méthodes qui permettent de montrer qu'une suite converge. On rappelle que la plus part du temps on montre en premier la convergence et puis on trouve la valeur de la limite.

Tout d'abord quelques liens :

• Une manière introductive pour parler de limite est présente ici. 
• Un cours niveau terminal sur le sujet ici. 
• Une ancienne leçon de CAPES sur le sujet ici. 
• Un cours universitaire sur les suites numériques ici.

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Suite définie par récurrence - quelques sources

Voici une liste d'exercices pour étudier des suites de type $u_{n+1}= f(u_n)$.

- Ici on a une série d'exercices corrigés. C'est assez détaillé, niveau terminal mais cela n'exploite par vraiment les tableaux de variation de la fonction $f$ car les fonctions mise en jeu sont très élémentaires.

- Ici on trouve toute une série d'exercice non-corrigés.

Suite définie par récurrence (fonction décroissante) - exercice résolu

Dans cet exercice on étudie la suite donnée par $u_{n+1}= f(u_n)$ avec $f(x):= 1-x^2$ et $u_0=1/2$.

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On commence par l'étude de $f$.

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Comme $f$ stabilise $[0,1]$, on déduit que $u_n\in [0,1]$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

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On intuite le comportement de $(u_n)_n$ graphiquement (ce n'est pas une preuve !).

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Un plus joli dessin !

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Ceci est le coeur de la preuve et doit être maîtriser ! Si $f$ est croissant l'argument ne se fait qu'une seule fois (on montre comme cela que $(u_n)_n$ est monotone. Ici $f$ est décroissante, on fait donc deux fois l'argument. On montre que Les suites extraites $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont monotones.

On remarque qu'on peut complexifier $P(n)$ pour démontrer la monotonie des suites extraites d'un coup.

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Cet argument permet de montrer que si une des suites extraites est croissante alors l'autre est décroissante (et lycée de Versailles !)

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On montre maintenant l'existence de la limite des suites extraites.

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On rappelle la technique de type point fixe pour trouver une limite. Attention, on montre pas l'existence d'une limite de cette façon...

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Vu que nous avons à faire à des suites extraites, on se retrouve contraint à étudier les points fixes avec $f \circ f$ et non plus avec $f$.

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On cherche les limites possibles. On revoit la méthode de la division euclidienne au passage.

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On a quatre candidat possibles pour les limites des suites extraites. On exploite les données initiales pour trouver la bonne limite.

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On remarque au passage que $(u_n)_n$ n'a pas de limite.

Suite définie par récurence - trame générale

Voici une trame générale pour l'étude des suite récurrentes de type $u_{n+1}= f(u_n)$. Elle est basée sur l'utilisation de la croissance de $f$. D'autres méthodes sont possibles, comme par exemple l'utilisation du fait que $f$ soit contractante, par exemple.

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