dimanche 30 septembre 2018
dimanche 23 septembre 2018
Appartient ou inclus ?
Un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble).
Par exemple : soit $X:=\{$étudiants de la classe$\}$. On peut énumérer $X$ en nommant chacun des étudiants.
\[X= \{\text{Julian, Guillaume, Paul},...\}.\]
Si on considère maintenant $Y:=\{$Les binômes possibles de la classe$\}$. On voit qu'il y a
\[Y= \{\underbrace{\{\text{Julian, Guillaume}\}}_{\text{un binôme}}, \{\text{Julian, Paul}\}, \{\text{Guilllaume, Paul}\},...\}.\]
On peut aussi voir $Y$ comme étant l'ensemble des sous-ensembles de $X$ de cardinal $2$.
Maintenant, nous avons
\[\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&X&Y\\
\hline
\text{Julian}&\in, \not\subset&\notin, \not\subset
\\
\hline
\text{{Julian}}&\notin, \subset&\notin, \not\subset
\\
\hline
\text{{Julian, Guillaume}}&\notin, \subset&\in, \not\subset
\\
\hline
\text{{{Julian, Guillaume}}}&\notin, \not\subset&\notin, \subset
\\
\hline
\end{array}\]
Pour la première ligne, $\text{Julian}\in X$ car c'est dans la liste des éléments de $X$. Cependant, on a $\text{Julian}\not\subset X$ car ce n'est un pas un ensemble fabriqué à partir des éléments de $X$. Il faut faire attention, ce n'est pas parce que $\text{{Julian, Guillaume}}$ fait parti de $Y$ que $\text{Julian}$ en fait parti :
\[\text{Julian} \in \text{{Julian, Guillaume}} \in Y\]
mais
\[ \text{Julian} \notin Y.\]
La relation d'appartenance n'est pas transitive.
Pour la deuxième ligne, cette fois $\text{{Julian}}$ un ensemble qui contient un seul élément qui est Julian. C'est comme si je faisais un groupe qui ne contient que Julian. Ce groupe est inclus dans $X$ car il est formé par des éléments de $X$ mais n'est pas un élément de $X$ (qui contient les étudiants et non les groupes formables avec ces étudiants). Une autre façon de voir les choses est d'introduire
\[\tilde X:=\{\text{les monômes de} X\} = \{\text{{Julian}, {Guillaume}, {Paul}...}\}.\]
On peut aussi voir $\tilde X$ comme étant l'ensemble des sous-ensembles de $X$ de cardinal $1$. On voit bien que $X \simeq \tilde X$, c'est-à-dire qu'ils sont en bijection. Cependant, ils sont de natures différentes.
Pour la troisième ligne, cette fois $\text{{Julian, Guillaume}}$ est un groupe qui est formé d'éléments de $X$. On a donc $\text{{Julian, Guillaume}}\subset X$. Comme un binôme formé par les étudiants de $X$ n'est pas dans $X$ on a $\text{{Julian, Guillaume}}\notin X$. Cependant, on a que $\text{{Julian, Guillaume}}\in Y$ car $Y$ contient tous les binômes.
La quatrième ligne est similaire à la seconde.
Une dernière remarque. On a vu plus haut que la relation d'appartenance n'est pas transitive. Cependant la relation d'inclusion l'est.
\[\text{Si } A\subset B\subset C \text{ alors } A\subset C.\]
On résume :
\[a\in A, \text{ si } a \text{ est un élément de } A.\]
\[a\subset A, \text{ si } a \text{ est un sous-ensemble formé d'éléments de }A.\]
Somme des angles d'un polygone convexe
Voici la correction du calcul de la somme des angles d'un polygone convexe. Cette preuve est faite par récurrence et demanderait un ou deux lemmes préparatoires pour être refaite au niveau agrégation par exemple. Elle est par contre très convaincante pour un niveau CAPES, selon moi, et aussi très bien pour un (bon) niveau terminal.
Ici on admet que la somme des angles d'un triangle fait 180 degrés.
Ici on admet que la somme des angles d'un triangle fait 180 degrés.
La partie "d'un côté on a et de l'autre on a" devrait être précisé plus analytiquement à un niveau supérieur. Elle est cependant très convaincante "avec un dessin".
samedi 22 septembre 2018
mercredi 12 septembre 2018
Le goût des mathématiques
Alain Connes © Radio France/Collège de France Les mathématiques sont peut-être la discipline enseignée qui n’ait jamais autant terrorisé les élèves ! Qui n’a pas souvenir de la souffrance causée par l’incompréhension d’un problème d’arithmétique ? Rares en effet sont ceux qui prennent goût à cet enseignement, souvent reçu comme fastidieux et trop abstrait. Pour quelles raisons, au juste, les mathématiques suscitent-elles chez nous si peu d’intérêt ? L’abstraction par laquelle nous les définissons habituellement est-elle justement fondée ? Dès lors, qu’est-ce qu’une réalité mathématique ? Plus simplement, comment pouvons-nous apprécier les mathématiques ? De quelle manière transmettre aux enfants le goût de cette discipline ? Voilà quelques-unes des difficultés auxquelles Stanislas Dehaene et Alain Connes s’efforcent de répondre.
mardi 11 septembre 2018
Récurrence (forte) fausse - partie 2
Nous allons maintenant illustrer une erreur commune sur la récurrence forte.
Attention spoiler !
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_0:=2$, $u_1:=10$
\[u_{n+2}:= 5u_{n+1}- 6 u_n,\]
pour tout $n\geq 0$.
Nous allons "montré" par récurrence que $u_n= 3\times 2^n - 3^n$, pour tout $n\geq 0$. (ce qui est faux pour $n=1$ !)
Preuve :
Soit $n\geq 0$, on pose $P_n$:= " $u_{k} = 3\times 2^k - 3^k$ pour tout $0\leq k\leq n$"
Initialisation :
$u_0= 2$ et $3\times 2^0 - 3^0= 3-1=2$. Donc $P_0$ est vraie.
Hérédité : Soit $n\geq 0$. Montrons que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ aussi.
Par définition de $(u_n)_n$, on a :
$u_{n+1}= 5 u_n - 6 u_{n-1} = 5 \times (3\times 2^n - 3^n) - 6 \times (3\times 2^{n-1} - 3^{n-1})$, car $u_{k} = 3\times 2^k - 3^k$ pour tout $0\leq k\leq n$.
Cela donne alors
$u_{n+1}= (15-3\times 3) \times 2^n - (5 - 2)\times 3^n = 3 \times 2^{n+1} - 3^{n+1}$.
On a donc que $P_{n+1}$ est vraie.
Conclusion : $P_n$ est vraie pour tout $n\geq 0$.
En particulier, on a que $u_n= 3\times 2^n - 3^n$, pour tout $n\geq 0$.
Attention spoiler !
Ici l'erreur est que nous utilisons que $u_{n-1}=3\times 2^{n-1} - 3^{n-1}$ en invoquant $P_n$ pour $n=0$ [premier pas de l'hérédité]. Cependant $P_n$ ne donne pas d'information sur $u_{-1}$...
Récurrence fausse - partie 1
Tout d'abord, je renvoie à ici pour la rédaction d'une récurrence et ici pour la correction d'une récurrence. Le point principal étant les erreurs de rédaction.
Je me penche maintenant sur les erreurs de mathématique. Nous allons explorer une énigme proposée sur ce site. Le point amusant étant que la solution proposée n'est pas correcte. Après une légère rerédaction, nous arrivons à :
Théorème : Soit $n\geq 1$, on a qu'étant donné $n$ points quelconques du plan alors ils sont toujours alignés.
Preuve : Soit $n\geq 1$, on pose $P_n$:= "$n$ points quelconques du plan sont toujours alignés"
Tout d'abord $P_1$ est trivialement vraie, il existe toujours une droite passant par ce point.
Montrons par récurrence que $P_n$ est vraie pour $n\geq 2$.
Initialisation : $P_2$ est vraie car étant un point donné, il existe toujours une droite passant par deux points.
Hérédité : Soit $n\geq 2$. Montrons que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ aussi.
On suppose $P_n$ vraie.
Soient $A_1, \ldots, A_{n+1}$, $n+1$ points deux à deux distincts.
On a $A_1, \ldots, A_n$ alignés, donc par $P_n$, il existe une droite $D$ qui contient ces points.
Par ailleurs, $A_2, \ldots, A_{n+1}$ sont aussi alignés. Donc par $P_n$, il existe une droite $D'$ qui contient ces points.
Ces droites ont en commun les points $A_2, \ldots A_n$. Donc $D=D'$.
En particulier $A_1, \ldots, A_{n+1}$ sont alignés et $P_{n+1}$ est vraie.
Conclusion : On a montré par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout $n\geq 2$.
Je me penche maintenant sur les erreurs de mathématique. Nous allons explorer une énigme proposée sur ce site. Le point amusant étant que la solution proposée n'est pas correcte. Après une légère rerédaction, nous arrivons à :
Théorème : Soit $n\geq 1$, on a qu'étant donné $n$ points quelconques du plan alors ils sont toujours alignés.
Preuve : Soit $n\geq 1$, on pose $P_n$:= "$n$ points quelconques du plan sont toujours alignés"
Tout d'abord $P_1$ est trivialement vraie, il existe toujours une droite passant par ce point.
Montrons par récurrence que $P_n$ est vraie pour $n\geq 2$.
Initialisation : $P_2$ est vraie car étant un point donné, il existe toujours une droite passant par deux points.
Hérédité : Soit $n\geq 2$. Montrons que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ aussi.
On suppose $P_n$ vraie.
Soient $A_1, \ldots, A_{n+1}$, $n+1$ points deux à deux distincts.
On a $A_1, \ldots, A_n$ alignés, donc par $P_n$, il existe une droite $D$ qui contient ces points.
Par ailleurs, $A_2, \ldots, A_{n+1}$ sont aussi alignés. Donc par $P_n$, il existe une droite $D'$ qui contient ces points.
Ces droites ont en commun les points $A_2, \ldots A_n$. Donc $D=D'$.
En particulier $A_1, \ldots, A_{n+1}$ sont alignés et $P_{n+1}$ est vraie.
Conclusion : On a montré par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout $n\geq 2$.
Attention spoiler !!!
La preuve proposée est bien entendue fausse. En fait on a que $P_1, P_2$ vraies et $P_n\implies P_{n+1}$ vraie pour $n\geq 3$. Le problème réside dans la partie hérédité pour $n=2$. En effet les droites ont en commun les points $A_2, \ldots, A_n$ ce qui est correct mais pour $n=2$, on a que $A_2=A_n$ ! Du coup ces droites n'ont qu'un seul point en commun ! Ce ne suffit pas pour conclure qu'elles sont confondues.
La preuve proposée est bien entendue fausse. En fait on a que $P_1, P_2$ vraies et $P_n\implies P_{n+1}$ vraie pour $n\geq 3$. Le problème réside dans la partie hérédité pour $n=2$. En effet les droites ont en commun les points $A_2, \ldots, A_n$ ce qui est correct mais pour $n=2$, on a que $A_2=A_n$ ! Du coup ces droites n'ont qu'un seul point en commun ! Ce ne suffit pas pour conclure qu'elles sont confondues.
dimanche 9 septembre 2018
Sur les assertions mathématiques
Je rappelle tout d'abord qu'un post détaillé sur la logique a déjà fait sur ce blog. Il me paraît important de revenir sur un certain point.
- ou fausse
- ou vraie
- ou indécidable/indémontrable
Dans le language courant on dit souvent qu'une chose est à moitié vraie. Mathématiquement parlant, une choses à moitié vraie est fausse (ou indécidable...). Pour être vraie, il faut qu'elle soit vraie dans tous les cas. L'exemple le plus simple est peut-être celui d'une voiture. Si je dis qu'elle est bleue alors, socialement parlant, on comprend que sa carrosserie est bleue. Mathématiquement, on entend qu'elle est entièrement bleue (des pneus à l'antenne !). Si on parle clairement de la carrosserie alors, mathématiquement, on entend qu'elle est bleue entièrement (pas de rayure blanche, pas de salissure...).
Parlons maintenant du caractère indécidable. Celui-ci veut dire que l'assertion n'est ni vraie, ni fausse, mais qu'il revient à chacun de choisir (ou non) la véracité de l'assertion. Prenons un exemple.
Il est conventionnel d'appeler cette viennoiserie un pain au chocolat ou une chocolatine. "Chacun" fait son choix (à ses risques et périls !). Nommer un objet est accepter une assertion indécidable et la rendre vraie (pour soi !). On peut l'appeler chocolatine, pain au chocolat ou bien choisir de ne pas donner de nom du tout ! Par contre, une fois le nom choisit on se retrouve "bloqué" dans les conséquences de ce choix (essayer d'acheter un pain aux chocolat à Bordeaux !).
En mathématique, les objets indécidables/indémontrables sont appelé axiomes.
Un autre exemple, issus des étudiants de cette année, est
"Les extraterrestres existent"
Cette assertion n'est par contre pas indécidable. Dans la réalité, ils existent ou non. Le point est que l'on n'est pas (scientifiquement...) sûr du résultat. Mais attention, ce n'est pas parce que la science n'a pas tranchée officiellement sur la question et donc que le résultat n'est pas connu à ce jour que cela rend cette assertion non-décidable.
Si l'on ne sais pas si quelque chose est ou vraie ou fausse, cela ne veut pas dire que cela est indécidable !
Une introduction sympathique à l'histoire de la logique est sûrement la bande dessinée logicomix
lundi 3 septembre 2018
Quelques liens pour une bonne rentrée
Voici quelques liens pour la préparation au CAFEP/CAPES.
Mais aussi les logiciels
- Geogebra
- Quelques tutoriels pour Python
- Liste des logiciels disponibles pour le concours
Bonne rentrée à tous !
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