mardi 17 décembre 2019

Non surjectivité de la transformé de Fourier dans L1


Pour montrer ce résultat on propose une solution "à la main". Elle ne repose pas sur l'utilisation de le principe de la borne uniforme qui n'est plus au programme de l'agrégation. Cet exercice est tiré du site bibmath.

La convention prise pour la transformé de Fourier ici est $F(f)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-ixt}dt$.





Le 1) est clair. Pour le 2), c'est classique. On commence par montrer l'existence de l'intégral. Attention la fonction n'est pas $L^1$, on a affaire à un intégrale impropre. 




Pour montrer la bornitude et la continuité on procède par exemple en découpant l'intégrale en deux et en reportant la difficulté sur un cas plus simple, celui d'une intégrale d'une fonction continue sur une compact. On conclue grâce au théorème fondamentale de l'analyse (version Riemann en fait).



Une alternative pour la continuité est d'utiliser la convergence dominée. 




Pour la question 3) on fait un Fubini. Pour cela on utilise Tonelli (cadre du bas) pour montrer que la fonction (de deux variables) est bien dans $L^1$. 




4) On pousse maintenant $R\to \infty$. Le membre de gauche est une intégrale impropre et en générale pas une intégrale de Lebesgue !

On justifie alors la convergence dominée en faisant attention de ne pas faire apparaître le $R$. 




5) On peut enfin conclure. On suppose qu'il existe $g\in C_0(\mathbb{R})$ qui soit la transformée de Fourier de $f$. La fonction $g$ est nécessairement impaire car $f$ l'est. On choisit $g(x)= 1/\ln(x)$ pour $x\geq 2$ et on la prolonge en une fonction impaire et continue (sur $[-2,2]$ il suffit de compléter par une droite). Comme $\int_1^\infty \frac{g(t)}{t}dt$ n'est pas convergente, on en déduit qu'il n'existe pas de $f\in L^1$ impaire telle que $\hat f=g$. La transformée de Fourier n'est donc pas surjective de $L^1$ dans $C_0$. 

Equation différentielle linéaire d'ordre 1 - partie 1


Tout d'abord il faut faire attention lors du travail de mémorisation de ne pas tromper de signe. Suivant les auteurs on se ramène à $y'+a(x)y=0$ ou à  $y'=b(x)y$. Cela donne comme solution $y= c e^{-\int a(x)dx}$ et $y= c e^{\int b(x)dx}$ avec $c\in\mathbb{R}$.

Ensuite on voit que si on choisit une primitive différente, cela change la valeur du $c$. Cela n'a donc pas d'impact sur la solution de l'équation différentielle.




On commence facile. Ici on a une condition initiale. Elle permet de déterminer la constante de façon unique.

On trace $x\mapsto ce^{-x}$ et l'on fait varier la constante de -5 à 5. On voit ici que le choix d'un $c$ détermine de façon unique la valeur de la fonction en $0$ et vice versa. Plus généralement le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que cette correspondance est une bijection. De plus, les courbes $x\mapsto ce^{-x}$ et $x\mapsto c'e^{-x}$ se coupent si et seulement si $c=c'$.





Ici pour se ramener à la forme du cours, on élimine le $2$ qui est devant le $y'$.




On passe maintenant à une équation avec second membre que l'on note $(E)$. 

On commence par l'étude de l'équation sans second membre $(ESSM)$ que l'on appelle aussi équation homogène $(EH)$. On la résout.  

On cherche ensuite une solution particulière de $(E)$. Ici la fonction constante $3$ est solution évidente. 

La solution générale de $(E)$ est donnée par la solution particulière de $(E)$ + la solution générale de $(ESSM)$.




On peut se demander comment on aurait pu trouver le $3$. Une règle (de type cuisine) est que si le second membre est un polynôme alors on cherche un polynôme comme solution particulière. On teste alors les polynômes de degré $0$, puis de degré $1$ si cela ne marche pas, puis $2$...




On met cela en pratique. Ici la solution particulière est une constante encore.




On passe à autre exemple. On divise par $x$ car il est devant le $y'$. Attention en faisant cela on se "condamne" à résoudre pour $x>0$ ou $x<0$. La solution de l'équation homogène est $y_H(x)= c|x|$. Ici il faut fair très attention. Il n'y a pas un seul $c$ mais deux : $c_+$ et $c_-$, un pour $x<0$ et un pour $x>0$. Par exemple, avec un certain choix on voit que $x\mapsto x$ est solution sur $\mathbb{R}^*$ et que $x\mapsto |x|$ aussi. 

Pour rendre le choix du $c$ unique, on faire un recollement et chercher une solution de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. Cela est possible ici si $c_+= -c_-$. En d'autres termes $x\mapsto cx$, avec $c\in \mathbb{R}$ est l'ensemble des solutions de classe $C^1$ de $(E)$ dans $\mathbb{R}$. 
    
On passe ensuite à la solution particulière. On voit rapidement que l'on n'a pas de solution avec des polynôme de degré inférieur à $2$. On essaye un de degré $3$. En procédant pas identification on obtient $y_p(x)= \frac{1}{2} x^3$. 

La solution générale de $(E)$ est de nouveau de la forme solution particulière de $(E)$ + solution générale de l'équation sans second membre.

Quelques décompositions en éléments simples



On procède à changement de variable affine.




Pour traiter les quotients, quand le dénominateur est de degré 2 et que le Delta est strictement négatif, on procède comme suit :
  
1) Si le degré numérateur soit de degré supérieur à 2, on fait une division euclidienne.
2) On fait du $u'/u$. Le but est de faire disparaître le terme en $t$. Cela donnera un terme en $\ln$.
3) On utilise la forme canonique du dénominateur et on fait un changement affine pour se ramener à du $1/(1+x^2)$ qui donnera de l'$\arctan$.



Ici le dénominateur a un discriminant strictement positif. On calcule les racines et on invoque la décomposition en éléments simples. Pour calculer les coefficients, on peut procéder par identification et résoudre un système. 




On intègre tranquillement. Attention une primitive de $1/(x-a)$ est $\ln(|x-a|)$. Il ne faut pas oublier la valeur absolue !! Ici, on a supposé que $x\geq 0$. 




Dans le c), on demande de calculer la limite de $F$ en $+\infty$. Dans le $d)$, on propose de calculer cette intégrale. On pose le changement de variable et on se ramène au cas précédent.




On finit le calcul.




Pour cette décomposition, on a $(x-1)^2$ au dénominateur. La forme de la décomposition en éléments simples n'est pas la même que pour l'exercice précédent. Il y a un terme supplémentaire. 

Ensuite on propose de calculer les constantes grâce à des astuces et non en procédant par identification. 




On continue pour les autres constantes.




On intègre !

lundi 16 décembre 2019

Quelques exercices d'intégration - changement de variables



On rappelle tout d'abord le théorème de changement de variable pour une intégrale. 




On commence avec un exemple élémentaire. Il y a 3 étapes à respecter. 

1) la nouvelle variable, 
2) le calcul de nouvel élément différentiel 
3) Les nouvelles bornes de l'intégrale

Si l'on a besoin d'avoir une primitive alors il ne faut pas oublier de revenir dans la variable initiale (voir le terme entre crochet dans la dernière ligne)




Ici on utilise le fait que $\sin:[-\pi/2, \pi/2]\to [-1,1]$ est une bijection qui est de classe $C^1$. Une fois le changement de variable réalisé, on tombe sur l'intégrale de $\cos^2(u)$. Pour l'intégrer on peut ou bien faire un peu trigonométrie ou bien faire une linéarisation (carré de gauche).




Cette primitive nous permet de calculer l'aire d'un demi-cercle. 




On recommence cet exercice en se basant sur le fait que $\cos:[0, \pi] \to [-1,1]$ est une bijection de classe $C^1$. Encore une fois on refait une linéarisation.




On finit le calcul.




On passe à un autre type d'exercice. On commence par une forme canonique.




On fait ensuite apparaître du $1/(1+t^2)$ qui va nous donne de l'arctangente. Puis nous effectuons le changement de variable. 

Intégrales généralisés partie 1



Ici on a que $\ln$ n'est pas continue en $0$. On regarde l'existence de la limite $\int_\epsilon^1 \ln(x) dx$ quand $\epsilon\to 0^+$. Quand elle existe et qu'elle est finie on dit que $\int_0^1 \ln(x) dx$ converge, sinon on dit l'intégrale diverge.

L'intégrale est dite "généralisée" ou "impropre".




Il est rare de pouvoir calculer les intégrales explicitement. On utilise alors volontiers des théorèmes de comparaison.




Attention, ici on utilise de façon cruciale l'hypothèse de positivité des fonctions.




On essaye une première fois le critère de comparaison. Le premier point est qu'on peut toujours séparer le comportement sur un compact du comportement en l'infini. 




L'idée ici est d'améliorer l'efficacité du critère. Pour cela on va comparer avec le critère de Riemann. Encore une fois, on peut "oublier" ce qui se passe sur un compact. 




On combine le critère de Riemann avec le critère de comparaison.




On donne un autre résultat important. C'est le critère d'absolue convergence. Sa démonstration repose sur la complétude de $\mathbb{R}$. 




On donne une application directe ici. 

Exercices types sur arccos, arcsin et arctan



Voici quelques exercices types pour les fonctions réciproques trigonométriques




Quand on veut démontrer qu'une fonction (ici le membre de gauche) est constante, il suffit de montrer que sa dérivée est nulle. C'est ce qu'on fait. Pour trouver la valeur de la dérivée, on évalue en un point.




Cet exercice est l'analogue direct en version $\arctan$.




Pour trouver la constante, on peut par exemple évaluer en $\pi/4$ ou bien regarder la limite quand $x\to \infty$. 




On voit que les deux compositions n'ont pas le même domaine de définition ! L'une n'est définie que sur $[-1,1]$ alors que l'autre l'est sur $\mathbb{R}$. On travaille sur des intervalles de longueur $\pi$ pour trouver les bonnes formulations.







C'est une intégrale classique. On passe en forme canonique.




Il y a juste un changement de variable affine à faire et on retombe sur du $\arcsin$. On aurait pu choisir du $\arccos$ pour intégrer aussi.

Enfin on remarque que quand on change le signe sous la racine, on sort du contexte des fonctions trigonométriques inverses. On passe en hyperbolique.

dimanche 15 décembre 2019

Le paradoxe de l'hôtel infini par Jeff Dekofsky



Cette vidéo traite de la notion de dénombrabilité. Les sous-titres en français sont disponibles. 

vendredi 13 décembre 2019

Les fonctions réciproques : argch et argsh



Les propriétés générales des fonctions $\cosh$ et $\sinh$ sont laissées en exercice. 




Ici on montre que $\cosh$ est une bijection de $[0, \infty[$ dans $[1, \infty[$. Il faut bien faire attention au fait que le point $0$ suive de la continuité de $\cosh$, attention on a $\cosh'(0)=0$.




On peut maintenant définir la fonction réciproque. La continuité est automatique. Pour la dérivabilité, on fait bien attention que la dérivée de la fonction réciproque existe quand on a pas une tangente plate pour la fonction. Géométriquement, on voit que cela implique d'avoir une tangente verticale et donc exclus le point du domaine de définition de la dérivée.  




Maintenant qu'on a prouvé que la fonction est dérivable, on passe au calcul de sa dérivée.