Sur l'argument principal

On pointe un piège important sur le sujet des arguments. On a

$e^{ia}e^{ib}= e^{i(a+b)}$. 

Cela implique que l'argument d'un produit est la somme des arguments, c'est-à-dire :

$\arg(ab)= \arg(a)+\arg(b) \mod (2 \pi)$

autrement dit

$\arg(ab)= \arg(a)+\arg(b) +2 k\pi,$

où $k\in \mathbb{Z}$. Attention l'argument n'est pas un réel mais une classe d'équivalence modulo $2\pi$. Il est abusif (bien que très courant) de dire que l'argument de $e^{i\pi/4}$ est $\pi/4$. Il convient de dire que l'argument est $\pi/4$ modulo $2\pi$.

Pour se simplifier la vie (vraiment ?) on introduit alors l'argument principal : $\arg_p(a)$ est l'unique $\arg(a)$ qui appartient à $]-\pi, \pi]$. On est alors content d'avoir un réel et non plus une classe d'équivalence mais cependant on perd une propriété fondamental : en général, l'égalité

$\arg_p(ab)= \arg_p(a)+\arg_p(b)$

est fausse. 

Cette faute est malheureusement commune et est létale à l'oral du concours.

Comme contre exemple, on a : 

$0=\arg_p(2\pi)\neq \arg_p(\pi)+\arg_p(\pi)= 2\pi.$