Perdre des points quand on sait faire le calcul mais pas rédiger est parfois frustrant. Il convient alors d'apprendre à rédiger correctement. Voici quelques "mauvaises" rédactions. Ce recueil n'a rien d'exhaustif malheureusement...
Conseil 1 : quand on voit dit d'apprendre un résultat par coeur, il faut le faire ou savoir le refaire très rapidement. Non il ne faut pas croire qu'on vous redonnera la formule de Taylor avec reste intégral juste pour être sympa.
Conseil 2 : Sur cette copie on accumule les points négatifs d'une façon clairement évitable.
c) Si $f$ est dérivable strictement [dé]croissante dont la dérivée ne s'annule pas, alors la fonction $f^{-1}:J \to I$ est une fonction continue strictement [dé]croissante dont la dérivée ne s'annule pas. De plus, on a : $(f^{-1})'(f(x))= \frac{1}{f'(x)}$.
Conseil 1 : quand on voit dit d'apprendre un résultat par coeur, il faut le faire ou savoir le refaire très rapidement. Non il ne faut pas croire qu'on vous redonnera la formule de Taylor avec reste intégral juste pour être sympa.
Conseil 2 : Sur cette copie on accumule les points négatifs d'une façon clairement évitable.
a) Une primitive de $\frac{f'}{f}$ n'est pas $\ln (f)$ mais $\ln(|f|)$. Pour vous en convaincre essayer de calculer $\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} dx$.
b) Avant de faire un calcul de dérivation, il faut d'abord justifier que la dérivée existe (sinon on n'a pas le droit d'utiliser les formules !), la phrase type est souvent $f$ est le quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas.
c) La dérivée de $\sin$ est $\cos$ mais la dérivée de $\sin(x)$ est $0$ [car c'est une constante !] par contre $(\sin)'(x)=\cos(x)$.
Conseil 3 : Apprenez à utiliser correctement les théorèmes (vous devez vérifier les hypothèses et/ou les rappeler)
On rappelle donc les principaux théorèmes pour les fonctions réciproques : Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb(R)$ et $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction bijective. Soit $J:=f(I)$ l'image de $I$ par $f$. Pour les preuves on pourra regarder le cours suivant.
a) Si $f$ est continue alors $J$ est un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires)
b) Si $f$ est continue strictement [dé]croissante alors la fonction $f^{-1}:J \to I$, qui est définie pour tout $y\in J$ par $f^{-1}(y)$ est l'unique $x\in I$ tel que $f(x)=y$, est une fonction continue strictement [dé]croissante. (théorème d'homéomorphisme)
c) Si $f$ est dérivable strictement [dé]croissante dont la dérivée ne s'annule pas, alors la fonction $f^{-1}:J \to I$ est une fonction continue strictement [dé]croissante dont la dérivée ne s'annule pas. De plus, on a : $(f^{-1})'(f(x))= \frac{1}{f'(x)}$.
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