Sur les intégrales généralisées

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Il reste aussi le théorème important suivant. Soient $f$ et $g$ continus de $[a, \infty[$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et $f$ est strictement positive. Supposons que $f$ est équivalent à $g$ en $+\infty$ alors les intégrales $\int_a^\infty f(t) dt$ et $\int_a^\infty g(t) dt$ sont de même nature. Voici la preuve.

Attention : Ce théorème est faux si $f$ n'est pas de signe constant. Voir Exercice 8.

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 Pour s'entrainer :

• Exercices corrigés
• et aussi ici

Sur les changements de variables et les fonctions réciproques

Ici on redonne les principaux changements de variable dans le cas d'un intégrant du type $\sqrt{ax^2+bx+c}$.

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Sur les fonctions réciproques

Petit cours sur les fonctions réciproques avec rappel des théorèmes principaux.

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Quelques exercices :

• Cours dans l'esprit CAPES
• exercices corrigés
• exercices non-corrigés

Calcul d'intégrale

Voici un site très complet qui brasse très largement les techniques de base (l'intégration par parties, le changement de variable, la méthode par identification, la décomposition en éléments simples, la linéarisation et ses alternatives...)

Pour une vision complète de l'intégration de fraction rationnelle, on pourra se référer à ce site.

Voici quelques exercices corrigés pour la décomposition en élément simple.

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Les formules trigonométriques et la forme exponentielle des nombres complexes

Au collège on définit les cosinus et sinus avec des rapports d'angles. Au lycée, on démontre les formules trigonométriques avec l'aide de la géométrie, voir Wikiversity. En terminal, on démontre la formule

$$e^{i(a+b)}= e^{ia}e^{ib}$$

avec $a,b\in \mathbb{R}$ en utilisant le fait que

$$e^{ia}= \cos(a)+ i \sin(b).$$

La vision universitaire est de tout d'abord démontrer les propriétés de la série entière exponentielle en particulier la formule de multiplication et de poser

$$\cos(a) = Re(e^{ia}) \mbox{ et } \sin(a) = Im(e^{ia}).$$

De là on peut en déduire les formules trigonométriques classiques.

Du point de vue du concours, seule la première vision est importante mais la deuxième vision permet de retrouver rapidement les formule de type $\cos(a+b)$ qui sont si rapidement oubliée...

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Il est aussi important de connaître les formules de type $\cos(a)+\cos(b)$ et $\sin(a)+\sin(b)$. Voilà deux méthodes pour les retrouver facilement.

Technique de l'angle moitié

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Sur les équivalents

Ce point est valable pour les équivalents de suites ou de fonctions en un réel ou bien à l'infini. Pour simplifier la présentation, on prendra le cas de fonctions $f:[1,\infty[ \to \mathbb{R}$ et $g:[1,\infty[ \to \mathbb{R}$.

On trouve le plus souvent :

Définition 1 : On suppose qu'il existe $a\geq 1$ tel que $g(x)\neq  0$ pour tout $x\geq a$. Si $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$. On dit alors que $f$ est équivalent à $g$ en $+\infty$. On note cela par exemple par $f(x)\sim_{x\to + \infty} g(x)$ ou par $f\sim_{+\infty} g$.

Cette définition est correcte pourvu que l'on suppose que $g(x)\neq 0$ pour $x$ assez grand (pour pouvoir diviser !). Ce n'est pas toujours le cas. Il existe une définition plus générale.

Définition 2 : S'il existe $a\geq 1$ et $l:[a, \infty[\to \mathbb{R}$ tel que $\lim_{x\to \infty} l(x)=1$ et tel que  $f(x)= l(x)g(x)$ pour tout $x\geq a$, on dit alors que $f$ est équivalent à $g$ en $+\infty$. On note cela par exemple par $f(x)\sim_{x\to + \infty} g(x)$ ou par $f\sim_{+\infty} g$.

Propriété 1 : On remarque que l'équivalence sur l'ensemble des fonctions $[1,\infty[ \to \mathbb{R}$ est une relation d'équivalence. On a donc, pour tout $f,g,h : [1,\infty[ \to \mathbb{R}$

1. On a $f\sim_{+\infty}f$
2. Si $f\sim_{+\infty} g$ alors $g\sim_{+\infty} f$,
3. Si $f\sim_{+\infty} g$ et $g\sim_{+\infty} h$ alors $f\sim_{+\infty} h$.

Propriété 2  Si $h:[1,\infty[\to \mathbb{R}$ et si $f \sim_{+\infty} g$ alors $(f\times h) \sim_{+\infty} (g \times h)$. En effet, avec $l$ et $a$ de la définition 2,
$$f \sim_{+\infty} g \Leftrightarrow f(x) = l(x)\times g(x), \forall  x\geq a$$
$$\implies h(x)f(x) = l(x)\times h(x)g(x), \forall  x\geq 1 \Leftrightarrow (f\times h) \sim_{+\infty} (g\times h)$$

Nous allons maintenant lister un nombre de pièges.

Piège 1 : On se place dans le cadre de la définition 2. On suppose que $f\sim_{+\infty} 0$. Donc il existe $a\geq 1$ et $h:[a,\infty[\to \mathbb{R}$ qui tend vers $1$ tel que $f(x)= 0 \times h(x)$ pour tout $x\geq a$. Donc $f(x)=0$ pour tout $x\geq a$.

Piège 2 : On additionne pas les équivalents (ou alors il faut savoir ce qu'on fait...). En effet, soit $f(x)=1$ et $g(x)= 1+1/x$ pour tout $x\geq 1$.
$$f\sim_{+\infty} g \implies (f-g)\sim_{+\infty}(g-g) \implies (f-g) \sim_{+\infty} 0$$
et donc $(f-g)(x) =0$ pour $x$ assez grand par le piège 1 ! Cela est faut car $1/x \neq 0$ pour tout $x\geq 1$.

Piège 3 : On compose pas les équivalents (ou alors il faut savoir ce qu'on fait...). On trouve parfois la rédaction suivante sur les copies. Soit $m:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue alors
$$f\sim_{+\infty} g \implies m(f)\sim_{+\infty} m(g).$$
Cet argument est faux ! On le voit par exemple en prenant $m(x)=\exp(x)$. On a alors
$$m(f)\sim_{+\infty} m(g) \Leftrightarrow \lim_{x\to \infty} \frac{\exp(f(x))}{\exp(g(x))}=1$$
$$\Leftrightarrow \lim_{x\to \infty}\exp(f(x)-g(x))=1 \Leftrightarrow  \lim_{x\to \infty}f(x)-g(x)=0$$

En prenant $f(x)=x$ et $g(x)=x+1$ on a un contre-exemple.

Pour terminer, voici quelques liens :

• Des exercices
• Des exercices plus difficiles.