Ce point est valable pour les équivalents de suites ou de fonctions en un réel ou bien à l'infini. Pour simplifier la présentation, on prendra le cas de fonctions f:[1,\infty[ \to \mathbb{R} et g:[1,\infty[ \to \mathbb{R}.
On trouve le plus souvent :
Définition 1 : On suppose qu'il existe a\geq 1 tel que g(x)\neq 0 pour tout x\geq a. Si \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1. On dit alors que f est équivalent à g en +\infty. On note cela par exemple par f(x)\sim_{x\to + \infty} g(x) ou par f\sim_{+\infty} g.
Cette définition est correcte pourvu que l'on suppose que g(x)\neq 0 pour x assez grand (pour pouvoir diviser !). Ce n'est pas toujours le cas. Il existe une définition plus générale.
Définition 2 : S'il existe a\geq 1 et l:[a, \infty[\to \mathbb{R} tel que \lim_{x\to \infty} l(x)=1 et tel que f(x)= l(x)g(x) pour tout x\geq a, on dit alors que f est équivalent à g en +\infty. On note cela par exemple par f(x)\sim_{x\to + \infty} g(x) ou par f\sim_{+\infty} g.
Propriété 1 : On remarque que l'équivalence sur l'ensemble des fonctions [1,\infty[ \to \mathbb{R} est une relation d'équivalence. On a donc, pour tout f,g,h : [1,\infty[ \to \mathbb{R}
Propriété 2 Si h:[1,\infty[\to \mathbb{R} et si f \sim_{+\infty} g alors (f\times h) \sim_{+\infty} (g \times h). En effet, avec l et a de la définition 2,
f \sim_{+\infty} g \Leftrightarrow f(x) = l(x)\times g(x), \forall x\geq a
\implies h(x)f(x) = l(x)\times h(x)g(x), \forall x\geq 1 \Leftrightarrow (f\times h) \sim_{+\infty} (g\times h)
Nous allons maintenant lister un nombre de pièges.
Piège 1 : On se place dans le cadre de la définition 2. On suppose que f\sim_{+\infty} 0. Donc il existe a\geq 1 et h:[a,\infty[\to \mathbb{R} qui tend vers 1 tel que f(x)= 0 \times h(x) pour tout x\geq a. Donc f(x)=0 pour tout x\geq a.
Piège 2 : On additionne pas les équivalents (ou alors il faut savoir ce qu'on fait...). En effet, soit f(x)=1 et g(x)= 1+1/x pour tout x\geq 1.
f\sim_{+\infty} g \implies (f-g)\sim_{+\infty}(g-g) \implies (f-g) \sim_{+\infty} 0
et donc (f-g)(x) =0 pour x assez grand par le piège 1 ! Cela est faut car 1/x \neq 0 pour tout x\geq 1.
Piège 3 : On compose pas les équivalents (ou alors il faut savoir ce qu'on fait...). On trouve parfois la rédaction suivante sur les copies. Soit m:\mathbb{R}\to \mathbb{R} continue alors
f\sim_{+\infty} g \implies m(f)\sim_{+\infty} m(g).
Cet argument est faux ! On le voit par exemple en prenant m(x)=\exp(x). On a alors
m(f)\sim_{+\infty} m(g) \Leftrightarrow \lim_{x\to \infty} \frac{\exp(f(x))}{\exp(g(x))}=1
\Leftrightarrow \lim_{x\to \infty}\exp(f(x)-g(x))=1 \Leftrightarrow \lim_{x\to \infty}f(x)-g(x)=0
En prenant f(x)=x et g(x)=x+1 on a un contre-exemple.
Pour terminer, voici quelques liens :
On trouve le plus souvent :
Définition 1 : On suppose qu'il existe a\geq 1 tel que g(x)\neq 0 pour tout x\geq a. Si \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1. On dit alors que f est équivalent à g en +\infty. On note cela par exemple par f(x)\sim_{x\to + \infty} g(x) ou par f\sim_{+\infty} g.
Cette définition est correcte pourvu que l'on suppose que g(x)\neq 0 pour x assez grand (pour pouvoir diviser !). Ce n'est pas toujours le cas. Il existe une définition plus générale.
Définition 2 : S'il existe a\geq 1 et l:[a, \infty[\to \mathbb{R} tel que \lim_{x\to \infty} l(x)=1 et tel que f(x)= l(x)g(x) pour tout x\geq a, on dit alors que f est équivalent à g en +\infty. On note cela par exemple par f(x)\sim_{x\to + \infty} g(x) ou par f\sim_{+\infty} g.
Propriété 1 : On remarque que l'équivalence sur l'ensemble des fonctions [1,\infty[ \to \mathbb{R} est une relation d'équivalence. On a donc, pour tout f,g,h : [1,\infty[ \to \mathbb{R}
- On a f\sim_{+\infty}f
- Si f\sim_{+\infty} g alors g\sim_{+\infty} f,
- Si f\sim_{+\infty} g et g\sim_{+\infty} h alors f\sim_{+\infty} h.
Propriété 2 Si h:[1,\infty[\to \mathbb{R} et si f \sim_{+\infty} g alors (f\times h) \sim_{+\infty} (g \times h). En effet, avec l et a de la définition 2,
f \sim_{+\infty} g \Leftrightarrow f(x) = l(x)\times g(x), \forall x\geq a
\implies h(x)f(x) = l(x)\times h(x)g(x), \forall x\geq 1 \Leftrightarrow (f\times h) \sim_{+\infty} (g\times h)
Nous allons maintenant lister un nombre de pièges.
Piège 1 : On se place dans le cadre de la définition 2. On suppose que f\sim_{+\infty} 0. Donc il existe a\geq 1 et h:[a,\infty[\to \mathbb{R} qui tend vers 1 tel que f(x)= 0 \times h(x) pour tout x\geq a. Donc f(x)=0 pour tout x\geq a.
Piège 2 : On additionne pas les équivalents (ou alors il faut savoir ce qu'on fait...). En effet, soit f(x)=1 et g(x)= 1+1/x pour tout x\geq 1.
f\sim_{+\infty} g \implies (f-g)\sim_{+\infty}(g-g) \implies (f-g) \sim_{+\infty} 0
et donc (f-g)(x) =0 pour x assez grand par le piège 1 ! Cela est faut car 1/x \neq 0 pour tout x\geq 1.
Piège 3 : On compose pas les équivalents (ou alors il faut savoir ce qu'on fait...). On trouve parfois la rédaction suivante sur les copies. Soit m:\mathbb{R}\to \mathbb{R} continue alors
f\sim_{+\infty} g \implies m(f)\sim_{+\infty} m(g).
Cet argument est faux ! On le voit par exemple en prenant m(x)=\exp(x). On a alors
m(f)\sim_{+\infty} m(g) \Leftrightarrow \lim_{x\to \infty} \frac{\exp(f(x))}{\exp(g(x))}=1
\Leftrightarrow \lim_{x\to \infty}\exp(f(x)-g(x))=1 \Leftrightarrow \lim_{x\to \infty}f(x)-g(x)=0
En prenant f(x)=x et g(x)=x+1 on a un contre-exemple.
Pour terminer, voici quelques liens :
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