On commence par des rappels
Attention : Ici la constante c dans la première partie dépend de l'intervalle sur lequel on résout !
On met en place la méthode par "devinette" pour deviner la solution particulière.
On met maintenant en place la solution avec variation de la constante.
L'échauffement étant terminé on cherche à résoudre une équation qui contient un terme à côté du y'. Pour se ramener au cas précédent on divise par ce terme. Comme on n'a pas le droit de diviser par 0, cela brise l'intervalle de résolution en deux parties. On résout donc sur les deux intervalles de façon indépendantes !!
Au passage, on n'oublie pas la petite valeur absolue dans le \ln quand on intègre du 1/x...
Chaque intervalle a sa propre constante. La question est donc de savoir s'il existe des constantes qui permettent d'écrire une solution qui soit de classe C^1(\mathbb{R}).
On regarde premier lieu si les solutions des deux intervalles se prolongent par continuité en 1. Ici la division euclidienne intervient pour lever l'indétermination de la limite.
Une seule constante à droite et une seule à gauche permet un prolongement par continuité. Si une solution existe sur \mathbb{R} alors c'est avec ces constantes.
Il reste à voir la réciproque : est-ce que ce candidat est bien solution du problème initiale. La réponse est positive ici.
Plus d'exercices sur les équations différentielles ici !
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