On commence par des rappels
Attention : Ici la constante $c$ dans la première partie dépend de l'intervalle sur lequel on résout !
On met en place la méthode par "devinette" pour deviner la solution particulière.
On met maintenant en place la solution avec variation de la constante.
L'échauffement étant terminé on cherche à résoudre une équation qui contient un terme à côté du $y'$. Pour se ramener au cas précédent on divise par ce terme. Comme on n'a pas le droit de diviser par $0$, cela brise l'intervalle de résolution en deux parties. On résout donc sur les deux intervalles de façon indépendantes !!
Au passage, on n'oublie pas la petite valeur absolue dans le $\ln$ quand on intègre du $1/x$...
Chaque intervalle a sa propre constante. La question est donc de savoir s'il existe des constantes qui permettent d'écrire une solution qui soit de classe $C^1(\mathbb{R})$.
On regarde premier lieu si les solutions des deux intervalles se prolongent par continuité en $1$. Ici la division euclidienne intervient pour lever l'indétermination de la limite.
Une seule constante à droite et une seule à gauche permet un prolongement par continuité. Si une solution existe sur $\mathbb{R}$ alors c'est avec ces constantes.
Il reste à voir la réciproque : est-ce que ce candidat est bien solution du problème initiale. La réponse est positive ici.
Plus d'exercices sur les équations différentielles ici !
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