Tout d'abord il faut faire attention lors du travail de mémorisation de ne pas tromper de signe. Suivant les auteurs on se ramène à $y'+a(x)y=0$ ou à $y'=b(x)y$. Cela donne comme solution $y= c e^{-\int a(x)dx}$ et $y= c e^{\int b(x)dx}$ avec $c\in\mathbb{R}$.
Ensuite on voit que si on choisit une primitive différente, cela change la valeur du $c$. Cela n'a donc pas d'impact sur la solution de l'équation différentielle.
On commence facile. Ici on a une condition initiale. Elle permet de déterminer la constante de façon unique.
On trace $x\mapsto ce^{-x}$ et l'on fait varier la constante de -5 à 5. On voit ici que le choix d'un $c$ détermine de façon unique la valeur de la fonction en $0$ et vice versa. Plus généralement le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que cette correspondance est une bijection. De plus, les courbes $x\mapsto ce^{-x}$ et $x\mapsto c'e^{-x}$ se coupent si et seulement si $c=c'$.
Ici pour se ramener à la forme du cours, on élimine le $2$ qui est devant le $y'$.
On passe maintenant à une équation avec second membre que l'on note $(E)$.
On commence par l'étude de l'équation sans second membre $(ESSM)$ que l'on appelle aussi équation homogène $(EH)$. On la résout.
On cherche ensuite une solution particulière de $(E)$. Ici la fonction constante $3$ est solution évidente.
La solution générale de $(E)$ est donnée par la solution particulière de $(E)$ + la solution générale de $(ESSM)$.
On peut se demander comment on aurait pu trouver le $3$. Une règle (de type cuisine) est que si le second membre est un polynôme alors on cherche un polynôme comme solution particulière. On teste alors les polynômes de degré $0$, puis de degré $1$ si cela ne marche pas, puis $2$...
On met cela en pratique. Ici la solution particulière est une constante encore.
On passe à autre exemple. On divise par $x$ car il est devant le $y'$. Attention en faisant cela on se "condamne" à résoudre pour $x>0$ ou $x<0$. La solution de l'équation homogène est $y_H(x)= c|x|$. Ici il faut fair très attention. Il n'y a pas un seul $c$ mais deux : $c_+$ et $c_-$, un pour $x<0$ et un pour $x>0$. Par exemple, avec un certain choix on voit que $x\mapsto x$ est solution sur $\mathbb{R}^*$ et que $x\mapsto |x|$ aussi.
Pour rendre le choix du $c$ unique, on faire un recollement et chercher une solution de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. Cela est possible ici si $c_+= -c_-$. En d'autres termes $x\mapsto cx$, avec $c\in \mathbb{R}$ est l'ensemble des solutions de classe $C^1$ de $(E)$ dans $\mathbb{R}$.
On passe ensuite à la solution particulière. On voit rapidement que l'on n'a pas de solution avec des polynôme de degré inférieur à $2$. On essaye un de degré $3$. En procédant pas identification on obtient $y_p(x)= \frac{1}{2} x^3$.
La solution générale de $(E)$ est de nouveau de la forme solution particulière de $(E)$ + solution générale de l'équation sans second membre.
