Sur les équations différentielles d'ordre 1

Soit $a\in C^0(I)$ où $I$ est un intervalle ouvert, non vide. On pose
$$(E)\quad\quad  y' (x) + a(x) y(x) =0.$$
Les solutions réelles de $(E)$ sont alors données par
$$S=\{x\mapsto c e^{-A(x)}, \text{ avec } c\in \mathbb{R} \}$$
et où $A$ est une primitive de $a$ sur $I$.

Pour le démontrer, on prend $y$ une solution de $(E)$ et on pose $g(x)= y(x) e^{A(x)}$. On a :
$$g'(x)= y'(x)e^{A(x)} + y(x) a(x)e^{A(x)}= 0.$$
Donc $g$ est constante sur l'intervalle $I$. Donc il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que $g(x)=c$. Cela implique que $y(x)e^{A(x)}= c$ et donc $y(x) = ce^{-A(x)}$. On obtient donc :
$$S\subset\{x\mapsto c e^{-A(x)}, \text{ avec } c\in \mathbb{R} \}.$$

On fait maintenant l'inclusion inverse. On pose $c\in \mathbb{R}$ et on pose $Y(x):= c e^{-A(x)}$.
On a :
$$Y'(x) + a(x) Y(x) = - a(x)c e^{-A(x)} + a(x) c e^{-A(x)}=0.$$
Donc $Y\in S$. Ce qui donne l'autre inclusion et démontre bien le théorème.

Commentaires :

1. Ici on résout sur $\mathbb{R}$ mais on pourrait résoudre sur $\mathbb{C}$. Il suffit de remplacer $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$ partout. 
2. Ici la constante dépend de $I$!! Si on résout une équation différentielle sur l'union de deux intervalles disjoints alors on a deux constantes !

On retrouve souvent sur les copies la preuve suivante :

$$\begin{align*} \frac{y'(x)}{y(x)}&= -a(x) \\ \ln(y(x)) &= -A(x) +k, \text{ avec } k\in \mathbb{R} \\ y (x)&= e^{-A(x)+ k} = \underbrace{e^{k}}_{cste} e^{-A(x)}. \end{align*}$$
Et cela conclue en disant : donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est donné par $\{x\mapsto c e^{-A(x)}, c\in \mathbb{R}\}$.

Il y a beaucoup de fautes dans cette preuve malheureusement :

1. $y(x)$ pourrait s'annuler a priori.
2. Il faudrait mettre $\ln(|y(x)|)$ à la deuxième ligne.
3. La constante $c:=e^{k} >0$ et on conclue avec $c\in \mathbb{R}$. 

Une preuve rigoureuse de cette approche demande plus de précautions.

On commence par remarquer que
I) S'il existe $x_0\in I$ tel que $y(x_0)=0$ alors, le problème $(E)$ avec condition initiale $y(x_0)=0$ ayant une solution unique (par Cauchy-Lipshitz... qui n'est pas du programme du CAPES) et comme $y(x)=0$ est solution triviale alors c'est l'unique solution. En d'autres termes, si la solution s'annule en un point, elle est nulle.

II) On peut donc supposer que $y$ est de signe constante et ne s'annule pas sur $I$. Supposons que $y(x)>0$ sur $I$. On a alors le reste de la démonstration qui donne qu'il existe $c>0$ tel que
$y(x)= ce^{-A(x)}$.

Maintenant si $y(x)<0$ sur $I$, On a
$$\begin{align*} \frac{y'(x)}{y(x)}&= -a(x) \\ \ln(-y(x)) &= -A(x) +k, \text{ avec } k\in \mathbb{R} \\ -y (x)&= e^{-A(x)+ k} = \underbrace{e^{k}}_{cste} e^{-A(x)}. \end{align*}$$
et donc qu'il existe $c>0$ tel que $y(x)= -ce^{-A(x)}$.

III) Si on combine les trois cas on voit que si $y$ est solution alors on a qu'il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que
$y(x)= ce^{-A(x)}$.