La math-à-outils: septembre 2021

Remboursement d'un crédit

On considère le cas d'un crédit de 5 000 euros avec un taux annuel de 2,4% et une mensualité de 100 euros. Le taux mensuel est donc de 0,2%. On pose $u_n$ le montant à rembourser au mois $n$. On a alors

$$u_{n+1}=\frac{1002}{1000}u_n-100,$$

avec $u_0=5000$. C'est une suite arithmético-géométrique. On commence par trouver le point fixe.

On obtient donc l'expression de $(u_n)$. On remarque que sa limite est $-\infty$, cela veut dire qu'il existe un $n$ à partir duquel la suite sera négative. Le crédit est remboursable.

On cherche à calculer le nombre de mois pour rembourser.

On calcule enfin ce que le crédit nous a vraiment coûté.

Étude d'une suite arithmético-géométrique

On étudie la suite $$u_{n+1}= \frac{2}{10} u_n +8$$ avec $u_0=2$. On commence par trouver le point fixe de la suite. Puis, dans le 1) on construit une suite annexe $(v_n)$ qui est géométrique.

Comme on connait tout sur les suites géométiques, on a l'expression explicite de $v_n$ pour tout $n$. On peut alors déduire l'expression de $(u_n)$.

Une question moins fréquente est celle du calcul de la somme de $u_n$. La formule générale n'est pas à connaître mais il faut bien retenir la méthode.