Remboursement d'un crédit

 On considère le cas d'un crédit de 5 000 euros avec un taux annuel de 2,4% et une mensualité de 100 euros. Le taux mensuel est donc de 0,2%. On pose $u_n$ le montant à rembourser au mois $n$. On a alors

$$u_{n+1}=\frac{1002}{1000}u_n-100,$$

avec $u_0=5000$. C'est une suite arithmético-géométrique. On commence par trouver le point fixe.

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On obtient donc l'expression de $(u_n)$. On remarque que sa limite est $-\infty$, cela veut dire qu'il existe un $n$ à partir duquel la suite sera négative. Le crédit est remboursable. 

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On cherche à calculer le nombre de mois pour rembourser.

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On calcule enfin ce que le crédit nous a vraiment coûté. 

Étude d'une suite arithmético-géométrique

On étudie la suite $$u_{n+1}= \frac{2}{10} u_n +8$$ avec $u_0=2$. On commence par trouver le point fixe de la suite. Puis, dans le 1) on construit une suite annexe $(v_n)$ qui est géométrique.

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Comme on connait tout sur les suites géométiques, on a l'expression explicite de $v_n$ pour tout $n$. On peut alors déduire l'expression de $(u_n)$.

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Une question moins fréquente est celle du calcul de la somme de $u_n$. La formule générale n'est pas à connaître mais il faut bien retenir la méthode.

Application des suites géométriques - flocon de Kock et triangle de Siepinski

On calcule la longueur du flocon de Koch à l'aide suite géométrique. On peut se référer à wikipédia pour plus de contexte et aller plus loin. 

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Pour le triangle Sierpinski, on pourra lire le wikipédia.