Les formules de Taylor à l'ordre 1 correspondent à donner la formule de la tangente à la courbe. Si on cherche à approcher la courbe de façon plus précise, on utilise les polynômes. Plus l'ordre du polynôme approchant est élevé plus on demande de la régularité. Elle est attribuée à Brook Taylor (1712).
Les formules se déclinent en fonction de la nature du reste (différence entre la fonction et l'approximation polynomiale).
Quelques applications
ici.
On pourra se référer au
wiki pour la liste des développements classiques à connaître.
Un cours vidéo (sans les preuves) est disponible
ici. Il dure 1h30 environ. Il permettra de se mettre à jour.
Un cours approprié sur l'utilité des DL suivra (position relative, développement asymptotique,...). C'est la moins gourmande en hypothèse, elle n'utilise que l'hypothèse $n$-fois dérivable.
La formule de Taylor-Lagrange généralise le TAF. On est maintenant à $n+1$-fois dérivable.
C'est la version la plus précise. Elle est aussi la plus gourmande en hypothèse (tout se paye !). Une preuve par récurrence est disponible
ici. Dans un autre article du blog on l'utilise pour montrer à la convergence de la série exponentielle vers la fonction exponentielle.
