Sur les assertions mathématiques

Je rappelle tout d'abord qu'un post détaillé sur la logique a déjà fait sur ce blog. Il me paraît important de revenir sur un certain point. 

Une assertion mathématique est

• ou fausse
• ou vraie
• ou indécidable/indémontrable

Dans le language courant on dit souvent qu'une chose est à moitié vraie. Mathématiquement parlant, une choses à moitié vraie est fausse (ou indécidable...). Pour être vraie, il faut qu'elle soit vraie dans tous les cas. L'exemple le plus simple est peut-être celui d'une voiture. Si je dis qu'elle est bleue alors, socialement parlant, on comprend que sa carrosserie est bleue. Mathématiquement, on entend qu'elle est entièrement bleue (des pneus à l'antenne !). Si on parle clairement de la carrosserie alors, mathématiquement, on entend qu'elle est bleue entièrement (pas de rayure blanche, pas de salissure...). 

Parlons maintenant du caractère indécidable. Celui-ci veut dire que l'assertion n'est ni vraie, ni fausse, mais qu'il revient à chacun de choisir (ou non) la véracité de l'assertion. Prenons un exemple. 

Il est conventionnel d'appeler cette viennoiserie un pain au chocolat ou une chocolatine. "Chacun" fait son choix (à ses risques et périls !). Nommer un objet est accepter une assertion indécidable et la rendre vraie (pour soi !). On peut l'appeler chocolatine, pain au chocolat ou bien choisir de ne pas donner de nom du tout ! Par contre, une fois le nom choisit on se retrouve "bloqué" dans les conséquences de ce choix (essayer d'acheter un pain aux chocolat à Bordeaux !). 

En mathématique, les objets indécidables/indémontrables sont appelé axiomes. 

Un autre exemple, issus des étudiants de cette année, est 

"Les extraterrestres existent"

Cette assertion n'est par contre pas indécidable. Dans la réalité, ils existent ou non. Le point est que l'on n'est pas (scientifiquement...) sûr du résultat. Mais attention, ce n'est pas parce que la science n'a pas tranchée officiellement sur la question et donc que le résultat n'est pas connu à ce jour que cela rend cette assertion non-décidable. 

Si l'on ne sais pas si quelque chose est ou vraie ou fausse, cela ne veut pas dire que cela est indécidable !

Une introduction sympathique à l'histoire de la logique est sûrement la bande dessinée logicomix