Récurrence fausse - partie 1

Tout d'abord, je renvoie à ici pour la rédaction d'une récurrence et ici pour la correction d'une récurrence. Le point principal étant les erreurs de rédaction.

Je me penche maintenant sur les erreurs de mathématique. Nous allons explorer une énigme proposée sur ce site. Le point amusant étant que la solution proposée n'est pas correcte. Après une légère rerédaction, nous arrivons à :

Théorème : Soit $n\geq 1$,  on a qu'étant donné $n$ points quelconques du plan alors ils sont toujours alignés.

Preuve : Soit $n\geq 1$, on pose $P_n$:= "$n$ points quelconques du plan sont toujours alignés"

Tout d'abord $P_1$ est trivialement vraie, il existe toujours une droite passant par ce point.
Montrons par récurrence que $P_n$ est vraie pour $n\geq 2$.

Initialisation : $P_2$ est vraie car étant un point donné, il existe toujours une droite passant par deux points.

Hérédité : Soit $n\geq 2$. Montrons que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ aussi.

On suppose $P_n$ vraie.

Soient $A_1, \ldots, A_{n+1}$, $n+1$ points deux à deux distincts.

On a $A_1, \ldots, A_n$ alignés, donc par $P_n$, il existe une droite $D$ qui contient ces points.

Par ailleurs, $A_2, \ldots, A_{n+1}$ sont aussi alignés. Donc par $P_n$, il existe une droite $D'$ qui contient ces points.

Ces droites ont en commun les points $A_2, \ldots A_n$. Donc $D=D'$.

En particulier $A_1, \ldots, A_{n+1}$ sont alignés et $P_{n+1}$ est vraie.

Conclusion : On a montré par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout $n\geq 2$.

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Attention spoiler !!! 

La preuve proposée est bien entendue fausse. En fait on a que $P_1, P_2$ vraies et $P_n\implies P_{n+1}$ vraie pour $n\geq 3$. Le problème réside dans la partie hérédité pour $n=2$. En effet les droites ont en commun les points $A_2, \ldots, A_n$ ce qui est correct mais pour $n=2$, on a que $A_2=A_n$ ! Du coup ces droites n'ont qu'un seul point en commun ! Ce ne suffit pas pour conclure qu'elles sont confondues.