Appartient ou inclus ?

Un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble). 

Par exemple : soit $X:=\{$étudiants de la classe$\}$. On peut énumérer $X$ en nommant chacun des étudiants. 

$$X= \{\text{Julian, Guillaume, Paul},...\}.$$

Si on considère maintenant $Y:=\{$Les binômes possibles de la classe$\}$. On voit qu'il y a

$$Y= \{\underbrace{\{\text{Julian, Guillaume}\}}_{\text{un binôme}},  \{\text{Julian, Paul}\}, \{\text{Guilllaume, Paul}\},...\}.$$

On peut aussi voir $Y$ comme étant l'ensemble des sous-ensembles de $X$ de cardinal $2$.

Maintenant, nous avons

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &X&Y\\ \hline \text{Julian}&\in, \not\subset&\notin, \not\subset \\ \hline \text{{Julian}}&\notin, \subset&\notin, \not\subset \\ \hline \text{{Julian, Guillaume}}&\notin, \subset&\in, \not\subset \\ \hline \text{{{Julian, Guillaume}}}&\notin, \not\subset&\notin, \subset \\ \hline \end{array}$$

Pour la première ligne, $\text{Julian}\in X$ car c'est dans la liste des éléments de $X$. Cependant, on a $\text{Julian}\not\subset X$ car ce n'est un pas un ensemble fabriqué à partir des éléments de $X$. Il faut faire attention, ce n'est pas parce que $\text{{Julian, Guillaume}}$ fait parti de $Y$ que $\text{Julian}$ en fait parti :

$$\text{Julian} \in \text{{Julian, Guillaume}} \in Y$$

mais 

$$\text{Julian} \notin Y.$$

La relation d'appartenance n'est pas transitive.

Pour la deuxième ligne, cette fois $\text{{Julian}}$ un ensemble qui contient un seul élément qui est Julian. C'est comme si je faisais un groupe qui ne contient que Julian. Ce groupe est inclus dans $X$ car il est formé par des éléments de $X$ mais n'est pas un élément de $X$ (qui contient les étudiants et non les groupes formables avec ces étudiants). Une autre façon de voir les choses est d'introduire 

$$\tilde X:=\{\text{les monômes de} X\} = \{\text{{Julian}, {Guillaume}, {Paul}...}\}.$$

On peut aussi voir $\tilde X$ comme étant l'ensemble des sous-ensembles de $X$ de cardinal $1$. On voit bien que $X \simeq \tilde X$, c'est-à-dire qu'ils sont en bijection. Cependant, ils sont de natures différentes.

Pour la troisième ligne, cette fois $\text{{Julian, Guillaume}}$ est un groupe qui est formé d'éléments de $X$. On a donc $\text{{Julian, Guillaume}}\subset X$. Comme un binôme formé par les étudiants de $X$ n'est pas dans $X$ on a $\text{{Julian, Guillaume}}\notin X$. Cependant, on a que $\text{{Julian, Guillaume}}\in Y$ car $Y$ contient tous les binômes.

La quatrième ligne est similaire à la seconde.

Une dernière remarque. On a vu plus haut que la relation d'appartenance n'est pas transitive. Cependant la relation d'inclusion l'est. 

$$\text{Si } A\subset B\subset C \text{ alors } A\subset C.$$

On résume :

$$a\in A, \text{ si } a \text{ est un élément de } A.$$

$$a\subset A, \text{ si } a \text{ est un sous-ensemble formé d'éléments de }A.$$