L'exercice est donné comme suit, sans indication.
Montrer que
\[22\left( \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3}+\ldots +\frac{1}{1+\ldots+10}\right)\]
est un entier.
On peut montrer que cela vaut 18.
plus bas indications !
Pour ceux qui bloquent, il faut utiliser tout d'abord les sommes arithmétiques et se rappeler ce que vaut
\[\frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}.\]
Généralisation : Montrer que
\[(n+1)\left( \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3}+\ldots +\frac{1}{1+\ldots+n}\right)\]
est un entier (et cela vaut $(n-1)$).
Montrer que
\[22\left( \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3}+\ldots +\frac{1}{1+\ldots+10}\right)\]
est un entier.
On peut montrer que cela vaut 18.
plus bas indications !
Pour ceux qui bloquent, il faut utiliser tout d'abord les sommes arithmétiques et se rappeler ce que vaut
\[\frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}.\]
Généralisation : Montrer que
\[(n+1)\left( \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3}+\ldots +\frac{1}{1+\ldots+n}\right)\]
est un entier (et cela vaut $(n-1)$).
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