Eratosthènes et théorie de la Terre plate

Dans les posts précédents, pour calculer le rayon de la Terre, nous avions étudié deux cas. Le premier était soumis aux hypothèses : La Terre est ronde et les rayons du soleil sont parallèles (expérience classique d'Eratosthènes). Dans le deuxième nous avions supposés : La Terre est ronde et les rayons du soleil sont presque parallèles (le soleil est très loin).

Nous allons maintenant plongé dans le côté obscur le temps d'un post et expliquer les conséquences de l'expérience d'Eratothènes sous l'hypothèse d'une Terre plate.

Disclamer : ceci est un jeu mathématique et ne prétend pas se substituer à des siècles d'astronomie et de physique.

En $A$ se trouve Syène (aujourd'hui Assouan en Egypte). Le jour du solstice d'été à 12h, le soleil est à la verticale de la ville (car elle se trouve sur le tropique du Cancer). Il le sait car il éclaire le fond du puit.

En $B$ à la base de la bibliothèque d'Alexandrie (certains disent un bâton mais ils n'ont aucun sens du romanesque). Il était par ailleurs à la tête de la bibliothèque. $B'$ est le haut de la tour. $B''$ est l'ombre de la haut de la tour sur la Terre.

En $S$ se trouve le soleil.

Le triangle $B''AS$ est rectangle en $A$, $BA = 800$ km et l'angle $\alpha:= \widehat{BB'B''}= \widehat{B''SA}$. L'estimation de la hauteur de la tour sera prise à $100$ m.

On a donc $AB'' = 800,1$ km et donc $SA = AB''/ \tan(7.2)\simeq 6330$ km.

Maintenant comme le soleil est à la perpendiculaire de tropique du cancer pendant le solstice d'été et que l'on peut répéter l'expérience d'Eratosthènes en tout point $A$ de tropique.  On en déduit que :

1) Lors du solstice d'été, le soleil se déplace juste au dessus du tropique du cancer et est à distance d'environ $6330$ km. 

En répétant cette expérience durant le solstice d'été on en déduit la version duale suivante :

2) Lors du solstice d'hiver, le soleil se déplace juste au dessus du tropique du capricorne et est à distance d'environ $6330$ km. 

Nous arrivons alors sur un premier fait étrange. La vitesse du soleil dépend de la saison.

Pour voir cela, on se réfère par exemple à la carte suivante, c'est à dire que l'on suppose que le centre de la Terre est au pôle nord (comme le font beaucoup de "théoricien de la Terre plate"...).

Carte issue du site.

Tout d'abord, comme les tropiques sont sur les 23 ème parallèle, on calcule facilement que la distance (sphérique et donc physique...) du pole nord au tropique du cancer est d'environ $(90-23)\times 6400\pi / 180 \simeq 7 484$ km et d'environ $(90+23)\times 6400\pi / 180 \simeq 12 622$ km entre le pôle nord et le tropique du capricorne.

Cela veut dire que le jour du solstice d'été, le soleil fait $7 484 \times 2\pi$ km en $24$ h, c'est-à-dire du  $1 960$ km/h. Cependant, le jour du solstice d'hiver, le soleil fait $12 622\times 2\pi$ en $24$ h, c'est-à-dire du $3 304$ km/h. On en déduit

3) Le soleil est 68% plus rapide pendant le solstice d'hiver que pendant le solstice d'été.

Attention Une première preuve que la Terre n'est pas plate est bien cette différence de la circonférence des deux tropiques !

Conclusion : Même si le soleil est plus 68% rapide pendant le solstice d'hiver, la durée du jour est la quasiment la même sur le tropique du cancer le 21 juin, soit 13h 37min 39s pour Assouan (Egypte) et 13h 34min 41s pour Rockhampton (Australie) qui se trouve à peu près sur le tropique du capricorne le jour du solstice d'hiver. Source.