Tout d'abord on passe en revu le critère pratique. Si $f$ et $g$ ne s'annulent pas dans un voisinage de $x_0$ alors on pourrait faire toute la théorie et montrer que c'est aussi une relation d'équivalence. Ici nous voulons aller plus loin.
En manipulant le quotient, on arrive à une version équivalente qui ne nécessite pas de diviser par $g$. C'est celle-ci que nous allons prendre dans le cas général.
On commence la preuve pour montrer que la relation d'équivalence est bien une relation d'équivalence (réflexif, symétrique, transitif)
Cela conclue la preuve et montre que nous avons bien une relation d'équivalence.
Voici le premier piège sur les équivalents. Si une fonction est équivalente à $0$, la fonction nulle, alors elle est localement nulle ! Cela montre que les équivalents sont beaucoup moins flexibles que les DL.
En s'aidant du premier piège, on en découvre un deuxième. Les équivalents ne s'additionnent pas !! Voilà encore une différence avec les DL.
Cela donne l'occasion de voir une preuve fausse pour l'addition des équivalents. L'erreur vient de la mauvaise compréhension de la notion de $o(1)$. On ne peut pas factoriser par $(1+o(1))$ car ce n'est pas une fonction mais une classe d'équivalence...
Cependant les équivalents ont le bon goût d'être stable par produit.
et aussi par quotient.
Un dernier piège, les équivalents ne sont pas stables par passage à l'exponentiel.
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