Inégalité et rappel sur les méthodes

On fait un rapide rappel sur comment résoudre une inégalité de type fraction rationnelle.

Ici, on met tout sur le même dénominateur et on fait une étude de signe. C'est la méthode la plus sûre.

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Ici on souhaite multiplier par $x-1$. Le problème (et le danger !) est que l'on ne connait pas son signe. On fait donc une étude de cas en étudiant d'une part $x<1$ et d'autre part $x>1$.

Suite arithmético-géométrique

Ici nous révisions le traitement des suites arithmético-géométriques dans le cadre de l'exercice 1 de la feuille d'ici. On pourra finir la feuille pour s'entrainer un peu plus.

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Tout d'abord on calcule le point fixe $l$. On pose ensuite $v_n:= u_n-l$.

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On montre que $(v_n)_{n\geq 0}$ est une suite géométrique.

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En utilisant ce que l'on sait sur les suites géométriques, on trouve l'expression de $u_n$.

Pour la résolution de $u_n\leq 100$, on fera attention de ne pas oublier les éléments de rédaction, comme $\ln$ est une fonction croissante.

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Attention ici on multiplie par $\ln(0.75)$, c'est un nombre négatif !

Enfin dernier piège, bien prendre le terme entier qui suit la valeur numérique trouvée.

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Enfin on donne la somme. Elle est facile à obtenir si on ne se trompe pas sur le nombre de termes dans la suite et si on connait la formule de la somme pour la suite géométrique.

2+2 = 22 ?

Dérivation d'un polynôme

Voici une application du calcul de somme géométrique. Il doit être connu car cela est une question classique pour les leçons de type "nombre dérivé et dérivation".

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Tout d'abord on fait le cas facile en $0$.

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On traite ensuite le cas en $1$. On remarque que c'est une somme géométrique qui apparait !

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Enfin on se ramène au cas $x_0=1$ en divisant par $x_0$ (qui est non nul !).

Somme géométrique - méthode alternative

On reprend l'exercice précédent autrement. On se base sur la preuve classique du calcul de la somme.

Attention, ici on a une suite géométrique de raison $2$, c'est pour cela qu'on multiplie par $2$ dans la deuxième ligne.

Somme géométrique

On passe maintenant au même exercice mais en version géométrique.

On tire profit du fait qu'on connaisse l'écriture du $n$-ième terme. Le nombre de termes est $n+1$ car on a commencé à $u_0$.

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Il ne reste plus qu'à utiliser la formule 

\[\text{Somme = premier terme} \frac{1- \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}\]

Attention ! Cette formule n'est valide que si la raison est différente de $1$. 

Somme arithmétique - méthode alternative

On reprend le même exercice et cette fois-ci on se base sur le fait qu'on connaisse :

\[1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}.\]

Somme arithmétique

Nous reprenons l'année avec de bonnes résolutions ! Vous trouverez les exercices à connaitre par coeur pour cette année avec le label par_coeur_meef_2019.

Un des plus grands classiques est celui du calcul de somme.

Ici on s'aide du fait que l'on connaisse l'expression du $n$-ième terme pour trouver le $n$.

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Enfin on utilise le cours : 

Somme = (nombre de termes)(premier terme + dernier terme)/2

Attention de ne pas de trouver dans le nombre de termes !! Quand on commence avec un $u_0$ alors $u_n$ est le $(n+1)$-ème terme.