Le plus gros problème auquel on est confronté dans les cours de L1 mais aussi au CAPES est l'écart entre le language employé couramment (le français) et la logique. Cela se ressent tout particulièrement dans la notion d'implication, la négation mais aussi dans l'emploi de "il faut" au lieu de "il suffit".
Ici, je ne donnerai pas un cours complet sur la logique mais seulement quelques mises en garde et une mise au point. On pourra consulter un cours complet par exemple sur
https://openclassrooms.com/courses/introduction-a-la-logique-mathematique
http://math.unice.fr/~frapetti/analyse/Logique.pdf
Laïus
Il y a trois types d'assertion : Les assertions vraies, les assertions fausses et les assertions qui ne sont pas décidables.
Les assertions non-décidables sont très délicates. On peut alors les définir comme vraie ou comme fausses. C'est comme quand on donne un nom à un enfant, c'est un choix et on aurait pu en faire un autre ou alors ne pas donner de nom. En mathématique, cela correspond aux axiomes. Le plus célèbre est sûrement "
l'axiome du choix" qui peut être choisi ou non.
Dans le cadre du cours, on se placera dans le cas où les assertions sont décidables. C'est-à-dire, que
une assertion (décidable) est ou vraie ou fausse (mais pas les deux !).
Par exemple, lorsque je dis "la voiture est bleue", en regardant la voiture je peux voir qu'elle est bleue ou non. D'un point de vue mathématique, l'assertion "la voiture est bleue" est ambigüe. Cela veut-il dire que "la voiture est entièrement bleue" (même les roues ?) ou "la peinture externe de la carrosserie est bleue (mais qu'il est possible qu'il y ait une ou deux tâches ou rayures ici et là)". Cela reflette d'une part le fait que le language "humain" est imprécis et que beaucoup de conventions sociales sont sous-entendues. Pour une assertion mathématique, on ne peut pas laisser la place à ce type de doute. Par exemple, l'assertion
\[x>2\]
est mal-définie car on n'a pas d'information sur le $x$ (réel ? complexe ?). En tant que telle, elle est donc fausse car elle n'est pas vrai pour tout $x$ possible. Il faut donc préciser en amont l'ensemble des $x$ que l'on considère. Par exemple, soit $x\geq 4$. Alors
\[x^2\geq 16\]
est vraie mais
\[x^2>16 \]
est fausse car il existe un $x\geq 4$ tel que $x^2>16$ soit faux.
Quand une assertion est vraie pour tous les cas sauf un alors elle est fausse.
La négation
En mathématique, faire la négation de quelque chose, le nier, n'est pas souvent pas simplement mettre "ne pas" quand une phrase contient plusieurs verbe mais
si la phrase n'a qu'un seul verbe, un seul sujet et un seul complément pour la nier, on rajoute/enlève "ne pas".
Nier une assertion est faire la liste de tout ce qui n'est pas dans cette assertion. Plus exactement c'est affirmer la proposition contradictoire. Mathématiquement, on a la table de vérité suivante : si $A$ est vraie alors $(\rm non)\, A$ est fausse et si $A$ est fausse alors $(\rm non)\, A$ est vraie.
- La négation de "Il y a (au moins) un chat noir" est "Il n'y a pas de chat noir".
- La négation de "Je suis un nain" n'est pas "Je suis un géant", c'est "Je ne suis pas un nain".
Quand il n'y a pas qu'un seul verbe ou un seul sujet ou un seul complément alors on décompose la phrase en sous-phrases plus simple qui sont liées avec conjonctions de type "ou", des "et", des "donc"... On applique ensuite les règles de négation des conjonctions.
La règle pour le "donc" sera vu dans la section implication.
La première règle est que le "ou" se nie en "et" et vice-versa. Plus précisément,
\[{\rm non } (A\, {\rm et}\, B) = ({\rm non}\, A) \, {\rm ou } \, ({\rm non}\, B)\]
et
\[{\rm non } (A\, {\rm ou}\, B) = ({\rm non}\, A) \, {\rm et } \, ({\rm non}\, B).\]
Attention le "ou" mathématique est un "et/ou" et non pas un "ou" exclusif, par exemple "ceci ou cela" veut dire "ceci", "cela" ou bien "ceci et cela".
- La phrase "Je veux le beurre et l'argent du beurre" correspond à "Je veux le beurre et je veux l'argent du beurre" car on distribue le verbe sur le "et". Sa négation est "Je ne veux pas le beurre ou je ne veux pas l'argent du beurre" c'est-à-dire "je ne veux pas le beurre ou l'argent du beurre" (et non par Je ne veux ni le beurre ni l'argent du beurre).
- La négation de "c'est la bourse ou la vie" est "c'est ni la bourse (et) ni la vie".
- La négation de "Jean et Jacques sont des enfants" est "Jean n'est pas un enfant ou Jacques n'est pas un enfant".
La négation de "pour tout" se nie en "il existe" et vice-versa.
- La négation de "Pour tout travail, il existe un outil", est "Il existe un travail pour lequel il n'existe aucun outil".
Si "L'assertion est vraie" alors il n'existe pas de contre-exemple à cette assertion. Cependant si "L'assertion est fausse" alors il existe un contre-exemple à cette assertion. Cela donne donc une technique de preuve : Pour montrer qu'une assertion est vraie, alors on vérifié que tous ses éléments sont vrais. Pour montrer qu'elle est fausse alors il suffit de trouver un de ses éléments qui soit faux.
- "Tous les enfants du groupe sont des filles" est vrai à chaque fois que peu importe qui je prends dans le groupe alors ce sera une fille. Cependant, pour montrer que cette assertion est fausse, il suffit de trouver un enfant du groupe qui ne soit pas une fille.
Les implications
Par définition nous avons:
(A \Rightarrow B):= (({\rm non} A)\, {\rm ou }\, B).
En particulier l'implication est vraie dès que $A$ est faux ou dès que $B$ est vrai (ou les deux).
Attention, La proposition $A \Rightarrow B$ ne correspond pas complètement à la version intuitive, i.e.,
"Si $A$ est vrai, alors $B$ est vrai" ! Par contre si on démontre que "Si $A$ est vrai, alors $B$ est vrai" est vrai alors cela montre bien que $A \Rightarrow B$ est vraie, car si $A$ est faux alors l'implication est vraie.
Dans le language commun, on emploie "donc" à la place de implique alors que "si...alors" n'est pas une vraie implication mais est plus utilisé dans une disjonction de cas.
On a par exemple, en admettant que la terre soit ronde (!),
- "La terre est plate donc la terre est ronde" est vrai car la première partie est fausse
- "La terre est ronde donc la terre est plate" est faux
- "La terre est plate donc la terre est plate" est vrai car la première partie est fausse
- "La terre est ronde donc la terre est ronde" est vrai car la deuxième partie est vraie
Ensuite le piège est de croire que si une implication est vraie alors sa deuxième partie est vraie.
- "La terre est plate donc la terre est plate" est vrai mais cela n'implique pas que la terre soit plate !
Cependant si $A$ est vrai et $A \Rightarrow B$ est vrai alors $B$ est vrai !
L'implication transporte la véracité !
On donne un exemple :
- Supposons que "Je suis grand donc je peux aller à l'école tout seul" soit vrai et que je suis effectivement grand, alors je peux aller à l'école tout seul.
La négation demande un moment de réflection quand on a affaire à une implication. La négation de $A\Rightarrow B$ est la négation de $({\rm non}\, A)\, {\rm ou}\, B$ et donc c'est $A\, {\rm et}\, {\rm non}\, B$.
- La négation de "Je suis grand donc je peux aller à l'école tout seul" est "Je suis grand et je ne peux pas aller à l'école tout seul".
Démontrer que $A\, {\rm et}\, {\rm non}\, B$ est vraie/fausse correspond donc à montrer que $A\Rightarrow B$ est fausse/vraie. Démontrer que ce dernier est faux de cette façon correspond à une démonstration par l'absurde.
L'équivalence
On dit que $A \Leftrightarrow B$ si, par définition, $A\Rightarrow B$ et $B\Rightarrow A$. On dit alors que $A$ est équivalent à $B$. En particulier on a que :
\[(A \Leftrightarrow B)\Leftrightarrow (A\, {\rm et}\, B)\, {\rm ou }\, (({\rm non }\, A ) \, {\rm et} \, {\rm non}\, B).\]
Cela veut donc dire que $A$ est équivalent à $B$ si est seulement si ils sont tous les deux vrais ou tous les deux faux en même temps. Cela correspond bien à "$A$ est vrai si et seulement si $B$ est vrai".
- "La terre est plate" n'est pas équivalent à "La terre est ronde".
- "L'oeuf vient de la poule" est équivalent à "La poule vient de l'oeuf".
Condition nécessaire et suffisante
Si $A \Rightarrow B$ est vraie alors $A$ est une
condition suffisante à $B$ (il suffit que $A$ soit vraie pour avoir $B$ vraie).
Si $A \Rightarrow B$ est vraie alors $B$ est une
condition nécessaire à $A$ (si $A$ est vraie alors il faut (il est nécessaire, obligatoire) que $B$ soit vraie).
Si $A \Leftrightarrow B$ est vraie alors $A$ est une condition nécessaire et suffisante à $B$ (et vice-versa)
La contraposée
La contraposée de $A\Rightarrow B$ est ${\rm non}\,B\Rightarrow \,{\rm non}\,A$. Un petit exercice montre que :
\[(A\Rightarrow B) \Leftrightarrow ({\rm non}\,B\Rightarrow \,{\rm non}\,A)\]
Montrer la contraposée est parfois plus simple que de montre l'implication (même si d'un point de vue logique l'une est fausse si et seulement si l'autre aussi).
La logique et l'enseignement
Liens avec les oraux
