Suites arithmético-géométriques

Les suites arithmético-géométriques ne sont pas explicitement dans le programme. Il est important de savoir les traiter rapidement car c'est un grand classique des exercices de lycée.

Tout d'abord, il faut maîtriser les bases. Les suites arithmétiques et les suites géométriques. Un cours complet sur le sujet est disponible ici. Il faut connaître et savoir retrouver facilement les formules de sommes.

Concernant ces dernières, il y intervient le nombre de termes de la suite. Il est crucial de ne pas se tromper. Par exemple, dans 1548, 1549, ... , 5991, il y a (5991 - 1548 +1) termes.

Pour les suites arithmético-géométriques, l'exemple le plus classique est le calcul du capital restant dû d'un prêt à la banque (tous les mois on rembourse une partie, c'est la partie arithmétique, et tous les mois le taux d'intérêt s'applique sur le capital restant dû, c'est la partie géométrique).

On peut par exemple consulter le wikipédia pour une présentation générale. Cependant la méthode n'est pas présentée de façon limpide, à mon avis.

Considérons

\[u_{n+1}= a u_n + b, \quad \mbox{ et } \quad u_0=c,\]

avec $a\neq 1$ (sinon nous aurions une suite arithmétique de raison $b$)

1) On cherche le point fixe. On résout $l= a l + b$. Comme $a\neq 1$, on obtient

\[l = \frac{b}{1-a}.\]

2) On pose $v_n:= u_n-l$, pour tout $n\in \mathbb{N}$. On montre que $(v_n)_n$ est une suite géométrique de raison $a$ et de terme initial $v_0= c-l$.

3) On ressort tout ce que l'on connait sur les suites géométriques dans le cas de $(v_n)_n$.

4) On utilise que $u_n = v_n +l$ et on conclue.

A titre d'exemple, on a

\[\sum_{n=0}^{100} u_n = \sum_{n=0}^{100} (v_n +l) = \sum_{n=0}^{100} (v_n)+\sum_{n=0}^{100} l = \underbrace{v_0}_{=u_0+l}\frac{1- a^{101}}{1-a} +101\times l\]

Attention ici il y a bien 101 termes !

Quelques exemples :

Pour les personnes ayant le plus de difficulté sur les suites arthimético-géométrique, vous pouvez consulter un exercice corrigé en vidéo ici.

Des exercices corrigés.

Pour les personnes qui n'ont pas peur des parents d'élèves, on consultera cela.