Dans cet exercice on étudie la suite donnée par $u_{n+1}= f(u_n)$ avec $f(x):= 1-x^2$ et $u_0=1/2$.
On commence par l'étude de $f$.
Comme $f$ stabilise $[0,1]$, on déduit que $u_n\in [0,1]$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
On intuite le comportement de $(u_n)_n$ graphiquement (ce n'est pas une preuve !).
Un plus joli dessin !
Ceci est le coeur de la preuve et doit être maîtriser ! Si $f$ est croissant l'argument ne se fait qu'une seule fois (on montre comme cela que $(u_n)_n$ est monotone. Ici $f$ est décroissante, on fait donc deux fois l'argument. On montre que Les suites extraites $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont monotones.
On remarque qu'on peut complexifier $P(n)$ pour démontrer la monotonie des suites extraites d'un coup.
Cet argument permet de montrer que si une des suites extraites est croissante alors l'autre est décroissante (et lycée de Versailles !)
On montre maintenant l'existence de la limite des suites extraites.
On rappelle la technique de type point fixe pour trouver une limite. Attention, on montre pas l'existence d'une limite de cette façon...
Vu que nous avons à faire à des suites extraites, on se retrouve contraint à étudier les points fixes avec $f \circ f$ et non plus avec $f$.
On cherche les limites possibles. On revoit la méthode de la division euclidienne au passage.
On a quatre candidat possibles pour les limites des suites extraites. On exploite les données initiales pour trouver la bonne limite.
On remarque au passage que $(u_n)_n$ n'a pas de limite.
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