Voici la rédaction (avant leçon complète) de quatre étudiants. L'exercice demandait de démontrer la formule donnant la somme des $n$ premiers entiers.
Ici, l'erreur la plus grosse est de ne par définir la propriété $P(n)$ que l'on cherche à démontrer. On introduit aussi un $u_n$ qui est inutile. La rédaction de la conclusion demande des petits ajustements. $P(n)$ devrait être $(P(n))_n$ par exemple.
Ici le choix est de faire une rédaction sans l'utilisation de $P(n)$. Cela est bien-sûr possible tant que les propositions se sont pas trop complexe.
On trouve le choix d'utiliser "un certain" au lieu de pour tout. Bien que correct il est plus compliqué d'expliquer qu'il correspond à un "pour tout" et non pas à un "il existe" auprès de lycéens.
Il y aussi un problème "d'esthétisme". Les barres des fractions doivent être au niveau du milieu du signe égal.
Ici il y a surtout un manque de rédaction. Il est important de conclure chaque étape pour la rendre plus lisible. La proposition $P(n)$ n'est pas donnée non plus.
Ici nous avons (enfin) la proposition $P(n)$ qui fait son apparition. On remarquera que le quantificateur $\forall$ est à sa bonne place (et non pas dans les guillemets...). On regrettera une rédaction plus légère (non structuration en Initialisation/Hérédité/Conclusion). Il y a aussi une confusion entre le mode de démonstration "universitaire" (avec l'utilisation d'un implique dans la phase d'hérédité) et celui "lycéen" qui est annoncé au début (on suppose que $P(n)$ vrai, montrons que $P(n+1)$ vrai...).
Enfin ici on remarquera un mélange des genres. La partie hérédité est traitée en tant que récurrence forte et la conclusion ne le mentionne pas.
Cette rédaction est bonne. On pourrait lui reprocher le fait que le texte soit trop fourni. Dans l'esprit de l'écris du concours du CAPES, une rédaction plus condensée est à prévoir si un nombre important de récurrence est à produire.
Ici il y a une erreur grave dans la rédaction de l'hérédité. L'étudiant suppose que $P(n)$ est vrai pour tout $n$ et donc c'est automatiquement vrai pour $n+1$... et il n'y a rien à démontrer. Une façon de procéder est de rajouter "un certain" (voir commentaire au dessus pour son utilisation). Mais il est préférable de mettre "Soit $n\in \mathbb{N}$ quelconque. On suppose que $P(n)$ est vrai. Montrons que $P(n+1)$ vrai.
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