Approximation de ln(2) par les sommes de Riemann

Nous allons maintenant changer de stratégie et approcher $\ln(2)$ à l'aide d'une autre suite. 

On commence par un rappel. Soit $f\in C([a,b])$ et $n\in \mathbb{N}^*$, on pose 

$$S_n(f):= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(a + k(b-a)/n).$$

Quand $n\to\infty$, on a que $S_n$ tend vers $\int_a^b f(t) dt$. Voir par exemple ici pour une preuve. En fait $S_n$ est une somme de Riemann associé à $f$, elle correspond à prendre la valeur de $f$ aux points de droite (car la somme commence par 1 et fini par $n)$ pour approcher l'intégrale. Pour avoir les points de gauche, il aurait fallut prendre $k=0,...,(n-1)$.

Considérons $f(x):=\frac{1}{1+x}$ sur $[0,1]$. On voit que $\int_0^1 f(t) dt= \ln(2)$ qui est la valeur qui nous intéresse. La suite $S_n$ est donnée, quant à elle, par 

$$S_n= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+ k/n}=  \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+ k}.$$

Il nous reste à estimer l'erreur d'approximation. On pose $x_k:= 1+k/n$. On utilise le théorème des accroissements finis sur chaque intervalle $[x_k, x_{k+1}]$. On obtient :

$$\begin{align*}|S_n - \ln(2)|&= \left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n) - \int_0^1 f(t) dt \right|\\&=  \left| \sum_{k=1}^n \left( \left(\frac{k}{n} - \frac{k-1}{n}\right)f(k/n) - \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(t) dt\right)\right|\\ & =\left|\sum_{k=1}^n  \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} (f(k/n) -f(t)) dt\right|\\ &\leq \sum_{k=1}^n  \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left|f(k/n) -f(t)\right| dt\\ &\leq \sum_{k=1}^n  \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\sup_{s\in [(k-1)/n, k/n]}|f'(s)| \left|k/n-t\right| dt\\ &\leq \sup_{s\in [0,1]}|f'(s)| \sum_{k=1}^n   \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \frac{1}{n} dt = \frac{1}{n} \sup_{s\in [0,1]}|f'(s)| = \frac{1}{n}.\end{align*}$$

La convergence est du même ordre que celle obtenue par la série alternée. Elle est très lente.

Remarque : Cette méthode est générale et marche car $f$ est $C^1$. Plus généralement on a que $$\left|S_n(f)- \int_a^b f(t) dt\right| \leq\sup_{s\in [0,1]}|f'(s)|\frac{b-a}{n}.$$