Nous utilisons maintenant la formule de Taylor avec reste intégrale qu'on vient de revoir. Il y a deux grands exercices classiques. Le premier est pour montrer que la somme exponentielle converge bien vers l'exponentielle (qui est par exemple définie par une équation différentielle). Par exemple cela est fait ici.
Avant de passer à Taylor à l'ordre $n$, il convient de trouver la dérivée $n$-ième de $x\mapsto \ln(1+x)$.
Ici, la récurrence ne pose pas de problème technique. Cependant, il est important d'éviter les horreurs telles que $(f(x))'$ qui vaut $0$ (car c'est une constante !!) et non $f''(x)$.
On écrit ensuite la formule de Taylor avec reste intégral.
La photo est malheureusement floue. Ici on estime le reste intégral. On majore en mettant la valeur absolue sous l'intégrale.
Il est hors de question de calculer cette intégrale car elle vaut $\ln(2)$ moins la somme et nous apporte donc rien, on retourne sur nos pas. On fait une majoration.
Quand un quotient doit être majoré, on a "deux" choix. On peut majorer le numérateur ou minorer le dénominateur. Ici il est remarquable que les deux méthodes permettent de conclure.
On choisit la meilleure des deux majorations. Il convient de se souvenir de citer le théorèmes des gendarmes pour être complet.
On passe ensuite à une application numérique. Pour être précis à $10^{-9}$, il suffit de calculer la somme jusqu'au terme $10^9+1$-ième. Cette méthode est très mauvaise d'un point de vue numérique...
Remarque : On rappelle que la suite $S_n:= \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k$ converge si $\lim_{k\to \infty} a_k =0$ (ici $a_k= -1/k$ et tend vers $0$). On appelle $S$ sa limite. C'est une série alternée. De plus, on a que $|S-S_n| \leq |a_{n+1}|$.
On voit donc que la convergence et l'estimation de la vitesse de convergence aurait pu être obtenue en invoquant la théorie des séries alternées. Cependant, la théorie ne donne pas la limite mais juste une valeur approchée. C'est là qu'intervient l'approche de Taylor avec reste intégral.
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