Digression autour du post sur ln(2) - série entière

Dans le post sur $\ln(2)$, on a vu que le développement de Taylor convergeait très lentement. Il convient alors de commenter ce manque de convergence.

On pose $f(z)= \sum_{k=1}^\infty a_n z^n$ la série entière donnée par $a_n=1/n$. On rappelle que le rayon de convergence est donné par :
$$R = \sup\left\{|z|: z\in\mathbb{C},\sum a_n z^n \text{ converge simplement }\right\}\in\, [0,+\infty].$$

Tout d'abord on a vu ici que $f(-1)= -\ln(2)$, donc le rayon de convergence est plus petit ou égal à $1$. D'un autre côté $f(1)$ n'existe pas, c'est la série harmonique qui diverge. Donc le rayon de convergence est plus grand ou égal à $1$. Il vaut exactement $1$.

On aurait pu trouver le rayon de convergence en utilisant le critère d'Alembert. On peut aller ici pour se rafraichir la mémoire. 

En effet on a $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=1 = 1/R$.

On sait aussi que la série donnée par $f(z)$ converge absolument pour tout $z\in D(0, R)$, disque ouvert de rayon $R$. En particulier si $z$ est dans ce disque, $C(z):=\sup_n |a_n| |z^n|<\infty$, car le terme général d'une suite convergente est borné (et tend vers $0$). 

On pose $f_N(z):= \sum_{k=1}^N a_n z^n$ et on regarde sa vitesse de convergence vers $f(z)$. On utilise une couronne de sécurité. On a que $|z|<(|z|+R)/2<R$. On voit : 

$$\begin{align*} |f(z)- f_N(z)|&\leq \sum_{k=N+1}^\infty |a_n| \left(\frac{|z|+R}{2}\right)^n \left(\frac{2|z|}{|z|+R}\right)^n\leq C(z) \sum_{k=N+1}^\infty \left(\frac{2|z|}{|z|+R}\right)^n \\&=C(z)\frac{\left(\frac{2|z|}{|z|+R}\right)^{N+1}}{1- \left(\frac{2|z|}{|z|+R}\right)}\end{align*}$$

Car c'est une suite géométrique de raison strictement plus petite que $1$. 

La convergence à l'intérieur du disque de convergence de la somme partielle d'ordre $N$ vers sa limite est donc de l'ordre de $N+1$. Cela est rapide. 

Dans le post sur $\ln(2)$, la lenteur de la convergence des sommes partielles vient du fait que l'on est sur le bord du disque de convergence.