Le but de ce post est de redémontrer la formule de Taylor avec reste intégral en la conjecturant tout d'abord puis la démontrant par récurrence.
Avec l'hypothèse C^1, on peut utiliser le théorème fondamentale de l'analyse. On rappelle ici qu'on utilise l'intégrale de Riemann dans le contexte du CAPES.
Pour la deuxième ligne, on utilise l'hypothèse C^2 et on fait une intégration par partie.
Attention ici il y a une astuce. Il faut choisir la bonne primitive pour la fonction constante 1 et pas prendre bêtement t\mapsto t.
On continue notre développement de Taylor. On utilise maintenant l'hypothèse C^3. Ici encore, on utilise pas la primitive canonique.
On passe maintenant à la conjecture. On pose l'hypothèse de récurrence. J'attire votre attention sur le fait que l'hypothèse f \in C^{n+1}(I) est dans P_n.
Ici, il y a point qui semble déroutant de prime abord. Contrairement à beaucoup des récurrences, ici on commence pas en citant P_n. On fait tout d'abord l'hypothèse f\in C^{n+2}(I), qui fait partie de P_{n+1}, puis on invoque P_n qui est valide car f\in C^{n+1}(I) en particulier.
On peut enfin conclure.
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