Formule de Taylor avec reste intégral

Le but de ce post est de redémontrer la formule de Taylor avec reste intégral en la conjecturant tout d'abord puis la démontrant par récurrence.

Avec l'hypothèse $C^1$, on peut utiliser le théorème fondamentale de l'analyse. On rappelle ici qu'on utilise l'intégrale de Riemann dans le contexte du CAPES.

Pour la deuxième ligne, on utilise l'hypothèse $C^2$ et on fait une intégration par partie. 

Attention ici il y a une astuce. Il faut choisir la bonne primitive pour la fonction constante $1$ et pas prendre bêtement $t\mapsto t$.

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On continue notre développement de Taylor. On utilise maintenant l'hypothèse $C^3$. Ici encore, on utilise pas la primitive canonique.

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On passe maintenant à la conjecture. On pose l'hypothèse de récurrence. J'attire votre attention sur le fait que l'hypothèse $f \in C^{n+1}(I)$ est dans $P_n$.

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Ici, il y a point qui semble déroutant de prime abord. Contrairement à beaucoup des récurrences, ici on commence pas en citant $P_n$. On fait tout d'abord l'hypothèse $f\in C^{n+2}(I)$, qui fait partie de $P_{n+1}$, puis on invoque $P_n$ qui est valide car $f\in C^{n+1}(I)$ en particulier.

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On peut enfin conclure.