Eratosthènes et théorie de la Terre plate

Dans les posts précédents, pour calculer le rayon de la Terre, nous avions étudié deux cas. Le premier était soumis aux hypothèses : La Terre est ronde et les rayons du soleil sont parallèles (expérience classique d'Eratosthènes). Dans le deuxième nous avions supposés : La Terre est ronde et les rayons du soleil sont presque parallèles (le soleil est très loin).

Nous allons maintenant plongé dans le côté obscur le temps d'un post et expliquer les conséquences de l'expérience d'Eratothènes sous l'hypothèse d'une Terre plate.

Disclamer : ceci est un jeu mathématique et ne prétend pas se substituer à des siècles d'astronomie et de physique.

En $A$ se trouve Syène (aujourd'hui Assouan en Egypte). Le jour du solstice d'été à 12h, le soleil est à la verticale de la ville (car elle se trouve sur le tropique du Cancer). Il le sait car il éclaire le fond du puit.

En $B$ à la base de la bibliothèque d'Alexandrie (certains disent un bâton mais ils n'ont aucun sens du romanesque). Il était par ailleurs à la tête de la bibliothèque. $B'$ est le haut de la tour. $B''$ est l'ombre de la haut de la tour sur la Terre.

En $S$ se trouve le soleil.

Le triangle $B''AS$ est rectangle en $A$, $BA = 800$ km et l'angle $\alpha:= \widehat{BB'B''}= \widehat{B''SA}$. L'estimation de la hauteur de la tour sera prise à $100$ m.

On a donc $AB'' = 800,1$ km et donc $SA = AB''/ \tan(7.2)\simeq 6330$ km.

Maintenant comme le soleil est à la perpendiculaire de tropique du cancer pendant le solstice d'été et que l'on peut répéter l'expérience d'Eratosthènes en tout point $A$ de tropique.  On en déduit que :

1) Lors du solstice d'été, le soleil se déplace juste au dessus du tropique du cancer et est à distance d'environ $6330$ km. 

En répétant cette expérience durant le solstice d'été on en déduit la version duale suivante :

2) Lors du solstice d'hiver, le soleil se déplace juste au dessus du tropique du capricorne et est à distance d'environ $6330$ km. 

Nous arrivons alors sur un premier fait étrange. La vitesse du soleil dépend de la saison.

Pour voir cela, on se réfère par exemple à la carte suivante, c'est à dire que l'on suppose que le centre de la Terre est au pôle nord (comme le font beaucoup de "théoricien de la Terre plate"...).

Carte issue du site.

Tout d'abord, comme les tropiques sont sur les 23 ème parallèle, on calcule facilement que la distance (sphérique et donc physique...) du pole nord au tropique du cancer est d'environ $(90-23)\times 6400\pi / 180 \simeq 7 484$ km et d'environ $(90+23)\times 6400\pi / 180 \simeq 12 622$ km entre le pôle nord et le tropique du capricorne.

Cela veut dire que le jour du solstice d'été, le soleil fait $7 484 \times 2\pi$ km en $24$ h, c'est-à-dire du  $1 960$ km/h. Cependant, le jour du solstice d'hiver, le soleil fait $12 622\times 2\pi$ en $24$ h, c'est-à-dire du $3 304$ km/h. On en déduit

3) Le soleil est 68% plus rapide pendant le solstice d'hiver que pendant le solstice d'été.

Attention Une première preuve que la Terre n'est pas plate est bien cette différence de la circonférence des deux tropiques !

Conclusion : Même si le soleil est plus 68% rapide pendant le solstice d'hiver, la durée du jour est la quasiment la même sur le tropique du cancer le 21 juin, soit 13h 37min 39s pour Assouan (Egypte) et 13h 34min 41s pour Rockhampton (Australie) qui se trouve à peu près sur le tropique du capricorne le jour du solstice d'hiver. Source.

Eratosthène - participer au calcul mondial du rayon de la Terre

Chaque année les écoles du monde entier peuvent participer au calcul du rayon de la Terre grâce au site. Le calcul le fait au solstice d'hiver. En 2018, 1 512 écoles du monde entier sont venues apporter leur pierre à l'édifice.

Rayon de la Terre et Eratosthène - version universitaire

Préambule : Cet article fait suite à la version collège du même nom. Les prérequis sont : théorème des accroissements finis et fonctions trigonométriques inverses. 

Ici nous ferons l'hypothèse que la Terre est sphérique et mais plus l'hypothèse que les rayons du soleil sont parallèles. Le but de ce calcul est d'estimer l'erreur commise en supposant dans un premier temps qu'ils étaient parallèles. 

Version interactive ici

En $A$ se trouve Syène (aujourd'hui Assouan). Le jour du solstice d'été à 12h, le soleil est à la verticale de la ville (car elle se trouve sur le tropique du Cancer). Erastothène le sait car le soleil éclaire le fond du puit.

En $B$ à la base de la bibliothèque d'Alexandrie (certains disent un bâton mais ils n'ont aucun sens du romanesque). $B'$ est le haut de la tour. $B''$ est l'ombre de la haut de la tour sur la Terre.

En $S$ se trouve le soleil en $O$ le centre de la terre de rayon $R$. On note par $\gamma$ l'angle $\widehat{OSB'}$. On a $\alpha:=\widehat{SOB}$ et $\beta:=\widehat{OB'B''}$. Les angles sont donnés en radians. On note par $\overset{\huge\frown}{AB\:}$ la longueur de l'arc de cercle allant de $A$ à $B$. Cette longueur est une donnée connue et $\beta$ aussi.

Etape 1 : L'angle $\widehat{DB'B}= \pi - \beta$. Donc, en considérant le triangle $OB'S$, comme la somme des angles fait $\pi$, on voit que $\alpha+\gamma +(\pi -\beta) = \pi$. En particulier 

$\alpha = \beta - \gamma$. 

Etape 2 : On en déduit:
\[R = \displaystyle \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\alpha} = \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta - \gamma}= \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta}\frac{1}{1-\frac{\gamma}{\beta}} = \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta}(1+o(1)),\]
quand $\gamma\to 0$. Comme $\gamma$ est très petit et fini, il faut estimer le $o(1)$ avec plus de finesse. On utilise le théorème des accroissements finis avec $f(x)=1/(1-x)$ qui est $\mathcal{C}^1(]-1/2, 1/2[)$ et les points $0$ et $\gamma/\beta$ (qui appartient bien à cet interval car $\gamma$ est très petit à la fin). Comme
\[\max_{x\in ]-1/2, 1/2[}|f'(x)|\leq 4,\]
On en déduit que
\[\displaystyle \left|R - \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} \right| =  \left|\frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} f\left(\frac{\gamma}{\beta}\right) - \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} f(0) \right|\leq 4\frac{\gamma}{\beta}.\]

Etape 3 : On estime $\gamma$ sans faire intervenir le rayon de la Terre.

Une mauvaise façon de faire est d'utiliser  la loi des sinus dans le triangle $OB'S$, on a :

$\displaystyle \frac{OB'}{\sin(\gamma)} = \frac{OS}{\sin(\pi - \beta)}=\frac{OS}{\sin(\beta)}$.

On déduit alors que :

$\displaystyle \sin(\gamma)= \frac{OB'\times \sin(\beta)}{OS}.$

et

$\displaystyle \gamma= \arcsin\left(\frac{OB'\times \sin(\beta)}{OS}\right),$

car $\gamma$ est très petit et en particulier dans $]-\pi, \pi[$ (ce qui permet de passer à la fonction inverse). En faisant comme cela on voit que $\gamma$ dépend de $R$, ce qui est très mauvais car on cherche à l'estimer.

On introduit alors $D$, le point de coordonnées $(R, \overset{\huge\frown}{AB\:}+BB')$.

On a que $\gamma':= \widehat{ASD}$ est plus grand que $\gamma$. De plus le triangle $ASD$ est rectangle en $A$. On a que
\[\gamma' = \displaystyle\arctan\left(\frac{DA}{AS}\right).\]
On conclue alors que
\[\displaystyle \left|R - \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} \right| \leq 4\frac{\arctan\left(\frac{DA}{AS}\right)}{\beta}.\]

On prend alors les valeurs numériques suivantes : 

\[AS = 152 \times 10^9 m, AB = 850\, 000 m, BB' = 90 m\]

On a pris une distance terre-soleil valable pour le solstice d'été, la distance moderne mesurée entre Alexandrie et Assouan, la hauteur de la tour de la bibliothèque d'Alexandrie (prise au hasard !!). On rappelle aussi qu'Eratostène avait mesuré $\beta = 7,2$ degrés. On a :

\[4\frac{\arctan\left(\frac{DA}{AS}\right)}{\beta} \simeq 1,8\cdot 10^{-4}.\]

Cela prouve que 

\[R= \frac{\overset{\huge\frown}{AB\:}}{\beta} \text{ à } 2\cdot 10^{-4} \text{ près.}\]
On laisse au lecteur le soin d'améliorer cette borne en utilisant un peu mieux que $\gamma/\beta<1/2$ mais l'on voit que cela n'est franchement pas nécessaire à la vue de la méthode de calcul peu précise.

L'hypothèse faite par Eratosthène de prouver que les rayons du soleil sont parallèles est donc totalement justifiée. On obtient à nouveau

\[R\simeq 6\, 764 km.\]

Pour améliorer le résultat il faudrait un calcul de l'angle $\beta$ plus précis. 

Rayon de la Terre et Eratosthène - version collège

Préambule : On explique ici comment Eratosthène a calculé le périmètre de la Terre en supposant qu'elle était ronde. Notions mises en jeu : angles alternes-internes, distance sur la sphère en fonction de l'angle.

Eratosthène était un mathématicien grec du IIIème siècle avant JC. Mis-à-part sa célèbre formule du crible il est aussi connu pour avoir calculé la circonférence de la Terre avec 1% d'erreur par rapport à la valeur connue. Il convient de préciser que la Terre n'est pas une vraie sphère mais qu'elle est aplatie aux pôles. Plusieurs sources sur le web traitent ce sujet. La version de David Louarpe est bien rédigée mais je ne suis pas d'accord avec lui sur le fait qu'il faille qu'ils soient sur le même méridien.

Version itérative ici

Eratosthène fait deux hypothèses. La première que la Terre est ronde (hypothèse naturelle de part un peuple grec et marin qui voient les voiles disparaître après la coque du bateau quand il s'éloigne) et aussi que les rayons du soleil sont parallèles. Cette dernière hypothèse semble exagérée mais comme nous verrons dans la version universitaire de ce sujet, ce n'est pas une mauvaise approximation car le soleil est très loin de la Terre.

En $A$ se trouve Syène (aujourd'hui Assouan). Le jour du solstice d'été à 12h, le soleil est à la verticale de la ville (car elle se trouve sur le tropique du Cancer). Il le sait car il éclaire le fond du puit.

En $B$ à la base de la bibliothèque d'Alexandrie (certains disent un bâton mais ils n'ont aucun sens du romanesque). Il était par ailleurs à la tête de la bibliothèque. $B'$ est le haut de la tour. $B''$ est l'ombre de la haut de la tour sur la Terre.

Comme les rayons du soleil sont parallèles et que $\alpha$ et $\beta$ sont alternes-internes, on en déduit que $\alpha=\beta$. Ensuite il connaissait la distance en les deux villes grâce aux trajets qui étaient fait par chameaux à l'époque. Elle faisait $5\, 000$ stades, soit $787\, 500$ mètres. L'angle $\beta$ faisait $7,2$ degrés. 

On se rappelle ensuite que $AB = R \times 7,2 \times \frac{\pi}{180}$, ici je convertis les degrés en radians et je note par $R$ le rayon de la Terre.

On obtient donc $R = \frac{180\times 787 500}{\pi\times 7,2}\simeq 6\, 266$ km.

En prenant la distance à vol d'oiseau obtenue sur google maps entre les deux villes, on obtient 

$R = \frac{180\times 850 000}{\pi\times 7,2}\simeq 6\, 764$ km. 

Ces deux valeurs sont plutôt bonnes car le rayon polaire (passant par les deux pôles) fait $6\, 357$ km.

Pour obtenir le périmètre, on se souvient qu'il est donné par $2 \pi R$.