Préambule : On explique ici comment Eratosthène a calculé le périmètre de la Terre en supposant qu'elle était ronde. Notions mises en jeu : angles alternes-internes, distance sur la sphère en fonction de l'angle.
Eratosthène était un mathématicien grec du IIIème siècle avant JC. Mis-à-part sa célèbre formule du crible il est aussi connu pour avoir calculé la circonférence de la Terre avec 1% d'erreur par rapport à la valeur connue. Il convient de préciser que la Terre n'est pas une vraie sphère mais qu'elle est aplatie aux pôles. Plusieurs sources sur le web traitent ce sujet. La version de David Louarpe est bien rédigée mais je ne suis pas d'accord avec lui sur le fait qu'il faille qu'ils soient sur le même méridien.
Version itérative ici
Eratosthène fait deux hypothèses. La première que la Terre est ronde (hypothèse naturelle de part un peuple grec et marin qui voient les voiles disparaître après la coque du bateau quand il s'éloigne) et aussi que les rayons du soleil sont parallèles. Cette dernière hypothèse semble exagérée mais comme nous verrons dans la version universitaire de ce sujet, ce n'est pas une mauvaise approximation car le soleil est très loin de la Terre.
En $A$ se trouve Syène (aujourd'hui Assouan). Le jour du solstice d'été à 12h, le soleil est à la verticale de la ville (car elle se trouve sur le tropique du Cancer). Il le sait car il éclaire le fond du puit.
En $B$ à la base de la bibliothèque d'Alexandrie (certains disent un bâton mais ils n'ont aucun sens du romanesque). Il était par ailleurs à la tête de la bibliothèque. $B'$ est le haut de la tour. $B''$ est l'ombre de la haut de la tour sur la Terre.
Comme les rayons du soleil sont parallèles et que $\alpha$ et $\beta$ sont alternes-internes, on en déduit que $\alpha=\beta$. Ensuite il connaissait la distance en les deux villes grâce aux trajets qui étaient fait par chameaux à l'époque. Elle faisait $5\, 000$ stades, soit $787\, 500$ mètres. L'angle $\beta$ faisait $7,2$ degrés.
On se rappelle ensuite que $AB = R \times 7,2 \times \frac{\pi}{180}$, ici je convertis les degrés en radians et je note par $R$ le rayon de la Terre.
On obtient donc $R = \frac{180\times 787 500}{\pi\times 7,2}\simeq 6\, 266$ km.
En prenant la distance à vol d'oiseau obtenue sur google maps entre les deux villes, on obtient
$R = \frac{180\times 850 000}{\pi\times 7,2}\simeq 6\, 764$ km.
Ces deux valeurs sont plutôt bonnes car le rayon polaire (passant par les deux pôles) fait $6\, 357$ km.
Pour obtenir le périmètre, on se souvient qu'il est donné par $2 \pi R$.
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