On commence par une formule bien connue :
Il faut prendre un peu de recul sur cette preuve. Si on se place du point de vue du lycée, on ne démontre PAS la formule de $\cos(a+b)$. En effet, au lycée, on démontre tout d'abord cette formule et celle de $\sin(a+b)$ en s'appuyant sur de la géométrie. Ensuite, ces formules permettent de démontrer que l'exponentielle complexe possède bien la propriété du produit : $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$. D'un point de vue universitaire, on ne s'appuie pas sur la géométrie du plan. Après avoir construit le corps des complexes, on définie l'exponentielle grâce à une série entière de rayon de convergence infini. Puis on montre, grâce au produit de Cauchy que $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$. On définie alors $\cos$ comme étant sa partie réelle et $\sin$ sa partie imaginaire. On en déduit alors la formule trigonométrique de $\cos(a+b)$, comme sur l'image.
Du point de vue du CAPES, ce calcul est utile pour se remémorer très rapidement la valeur de $\cos(a+b)$.
On regarde maintenant une variante. On se propose de redémontrer la formule (trop souvent oubliée) de $\cos(a)+\cos(b)$.
On utilise la technique du demi-angle. C'est une manière efficace pour factoriser $e^{ia}+e^{ib}$. On utilise aussi que $\cos(a)+ \cos(b)$ est la partie réelle de la somme des exponentielles.
En prenant la partie imaginaire, on retrouve alors la formule de $\sin(a)+ \sin(b)$.
On traite ici un cas un peu plus compliqué : $\sin(a)- \cos(b)$. Avec de la trigonométrie, on peut le déduire du cas précédent. Pour le traiter comme avant, on met tout sous la forme d'une partie réelle en remarquant que $\sin(a)= Re(ie^{ia})$.
