On commence par une formule bien connue :
Il faut prendre un peu de recul sur cette preuve. Si on se place du point de vue du lycée, on ne démontre PAS la formule de \cos(a+b). En effet, au lycée, on démontre tout d'abord cette formule et celle de \sin(a+b) en s'appuyant sur de la géométrie. Ensuite, ces formules permettent de démontrer que l'exponentielle complexe possède bien la propriété du produit : e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}. D'un point de vue universitaire, on ne s'appuie pas sur la géométrie du plan. Après avoir construit le corps des complexes, on définie l'exponentielle grâce à une série entière de rayon de convergence infini. Puis on montre, grâce au produit de Cauchy que e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}. On définie alors \cos comme étant sa partie réelle et \sin sa partie imaginaire. On en déduit alors la formule trigonométrique de \cos(a+b), comme sur l'image.
Du point de vue du CAPES, ce calcul est utile pour se remémorer très rapidement la valeur de \cos(a+b).
On regarde maintenant une variante. On se propose de redémontrer la formule (trop souvent oubliée) de \cos(a)+\cos(b).
On utilise la technique du demi-angle. C'est une manière efficace pour factoriser e^{ia}+e^{ib}. On utilise aussi que \cos(a)+ \cos(b) est la partie réelle de la somme des exponentielles.
En prenant la partie imaginaire, on retrouve alors la formule de \sin(a)+ \sin(b).
On traite ici un cas un peu plus compliqué : \sin(a)- \cos(b). Avec de la trigonométrie, on peut le déduire du cas précédent. Pour le traiter comme avant, on met tout sous la forme d'une partie réelle en remarquant que \sin(a)= Re(ie^{ia}).
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