La math-à-outils

dimanche 26 septembre 2021

Remboursement d'un crédit

On considère le cas d'un crédit de 5 000 euros avec un taux annuel de 2,4% et une mensualité de 100 euros. Le taux mensuel est donc de 0,2%. On pose $u_n$ le montant à rembourser au mois $n$ . On a alors

$u_{n+1}=\frac{1002}{1000}u_n-100,$

avec $u_0=5000$ . C'est une suite arithmético-géométrique. On commence par trouver le point fixe.

On obtient donc l'expression de

$(u_n)$ . On remarque que sa limite est

$-\infty$ , cela veut dire qu'il existe un

$n$ à partir duquel la suite sera négative. Le crédit est remboursable.

On cherche à calculer le nombre de mois pour rembourser.

On calcule enfin ce que le crédit nous a vraiment coûté.

Étude d'une suite arithmético-géométrique

On étudie la suite $u_{n+1}= \frac{2}{10} u_n +8$ avec $u_0=2$ . On commence par trouver le point fixe de la suite. Puis, dans le 1) on construit une suite annexe $(v_n)$ qui est géométrique.

Comme on connait tout sur les suites géométiques, on a l'expression explicite de

$v_n$ pour tout

$n$ . On peut alors déduire l'expression de

$(u_n)$ .

Une question moins fréquente est celle du calcul de la somme de

$u_n$ . La formule générale n'est pas à connaître mais il faut bien retenir la méthode.

Application des suites géométriques - flocon de Kock et triangle de Siepinski

On calcule la longueur du flocon de Koch à l'aide suite géométrique. On peut se référer à wikipédia pour plus de contexte et aller plus loin.

Pour le triangle Sierpinski, on pourra lire le wikipédia.

mardi 17 décembre 2019

Non surjectivité de la transformé de Fourier dans L1

Pour montrer ce résultat on propose une solution "à la main". Elle ne repose pas sur l'utilisation de le principe de la borne uniforme qui n'est plus au programme de l'agrégation. Cet exercice est tiré du site bibmath.

La convention prise pour la transformé de Fourier ici est

$F(f)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-ixt}dt$ .

Le 1) est clair. Pour le 2), c'est classique. On commence par montrer l'existence de l'intégral. Attention la fonction n'est pas

$L^1$ , on a affaire à un intégrale impropre.

Pour montrer la bornitude et la continuité on procède par exemple en découpant l'intégrale en deux et en reportant la difficulté sur un cas plus simple, celui d'une intégrale d'une fonction continue sur une compact. On conclue grâce au théorème fondamentale de l'analyse (version Riemann en fait).

Une alternative pour la continuité est d'utiliser la convergence dominée.

Pour la question 3) on fait un Fubini. Pour cela on utilise Tonelli (cadre du bas) pour montrer que la fonction (de deux variables) est bien dans

$L^1$ .

4) On pousse maintenant

$R\to \infty$ . Le membre de gauche est une intégrale impropre et en générale pas une intégrale de Lebesgue !

On justifie alors la convergence dominée en faisant attention de ne pas faire apparaître le

$R$ .

5) On peut enfin conclure. On suppose qu'il existe

$g\in C_0(\mathbb{R})$ qui soit la transformée de Fourier de

$f$ . La fonction

$g$ est nécessairement impaire car

$f$ l'est. On choisit

$g(x)= 1/\ln(x)$ pour

$x\geq 2$ et on la prolonge en une fonction impaire et continue (sur

$[-2,2]$ il suffit de compléter par une droite). Comme

$\int_1^\infty \frac{g(t)}{t}dt$ n'est pas convergente, on en déduit qu'il n'existe pas de

$f\in L^1$ impaire telle que

$\hat f=g$ . La transformée de Fourier n'est donc pas surjective de

$L^1$ dans

$C_0$ .

Equation différentielle linéaire d'ordre 1 - partie 1

Tout d'abord il faut faire attention lors du travail de mémorisation de ne pas tromper de signe. Suivant les auteurs on se ramène à

$y'+a(x)y=0$ ou à

$y'=b(x)y$ . Cela donne comme solution

$y= c e^{-\int a(x)dx}$ et

$y= c e^{\int b(x)dx}$ avec

$c\in\mathbb{R}$ .

Ensuite on voit que si on choisit une primitive différente, cela change la valeur du

$c$ . Cela n'a donc pas d'impact sur la solution de l'équation différentielle.

On commence facile. Ici on a une condition initiale. Elle permet de déterminer la constante de façon unique.

On trace

$x\mapsto ce^{-x}$ et l'on fait varier la constante de -5 à 5. On voit ici que le choix d'un

$c$ détermine de façon unique la valeur de la fonction en

$0$ et vice versa. Plus généralement le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que cette correspondance est une bijection. De plus, les courbes

$x\mapsto ce^{-x}$ et

$x\mapsto c'e^{-x}$ se coupent si et seulement si

$c=c'$ .

Ici pour se ramener à la forme du cours, on élimine le

$2$ qui est devant le

$y'$ .

On passe maintenant à une équation avec second membre que l'on note

$(E)$ .

On commence par l'étude de l'équation sans second membre

$(ESSM)$ que l'on appelle aussi équation homogène

$(EH)$ . On la résout.

On cherche ensuite une solution particulière de

$(E)$ . Ici la fonction constante

$3$ est solution évidente.

La solution générale de

$(E)$ est donnée par la solution particulière de

$(E)$ + la solution générale de

$(ESSM)$ .

On peut se demander comment on aurait pu trouver le

$3$ . Une règle (de type cuisine) est que si le second membre est un polynôme alors on cherche un polynôme comme solution particulière. On teste alors les polynômes de degré

$0$ , puis de degré

$1$ si cela ne marche pas, puis

$2$ ...

On met cela en pratique. Ici la solution particulière est une constante encore.

On passe à autre exemple. On divise par

$x$ car il est devant le

$y'$ . Attention en faisant cela on se "condamne" à résoudre pour

$x>0$ ou

$x<0$ . La solution de l'équation homogène est

$y_H(x)= c|x|$ . Ici il faut fair très attention. Il n'y a pas un seul

$c$ mais deux :

$c_+$ et

$c_-$ , un pour

$x<0$ et un pour

$x>0$ . Par exemple, avec un certain choix on voit que

$x\mapsto x$ est solution sur

$\mathbb{R}^*$ et que

$x\mapsto |x|$ aussi.

Pour rendre le choix du

$c$ unique, on faire un recollement et chercher une solution de classe

$C^1$ sur

$\mathbb{R}$ . Cela est possible ici si

$c_+= -c_-$ . En d'autres termes

$x\mapsto cx$ , avec

$c\in \mathbb{R}$ est l'ensemble des solutions de classe

$C^1$ de

$(E)$ dans

$\mathbb{R}$ .

On passe ensuite à la solution particulière. On voit rapidement que l'on n'a pas de solution avec des polynôme de degré inférieur à

$2$ . On essaye un de degré

$3$ . En procédant pas identification on obtient

$y_p(x)= \frac{1}{2} x^3$ .

La solution générale de

$(E)$ est de nouveau de la forme solution particulière de

$(E)$ + solution générale de l'équation sans second membre.

Quelques décompositions en éléments simples

On procède à changement de variable affine.

Pour traiter les quotients, quand le dénominateur est de degré 2 et que le Delta est strictement négatif, on procède comme suit :

1) Si le degré numérateur soit de degré supérieur à 2, on fait une division euclidienne.

2) On fait du

$u'/u$ . Le but est de faire disparaître le terme en

$t$ . Cela donnera un terme en

$\ln$ .

3) On utilise la forme canonique du dénominateur et on fait un changement affine pour se ramener à du

$1/(1+x^2)$ qui donnera de l'

$\arctan$ .

Ici le dénominateur a un discriminant strictement positif. On calcule les racines et on invoque la décomposition en éléments simples. Pour calculer les coefficients, on peut procéder par identification et résoudre un système.

On intègre tranquillement. Attention une primitive de

$1/(x-a)$ est

$\ln(|x-a|)$ . Il ne faut pas oublier la valeur absolue !! Ici, on a supposé que

$x\geq 0$ .

Dans le c), on demande de calculer la limite de

$F$ en

$+\infty$ . Dans le

$d)$ , on propose de calculer cette intégrale. On pose le changement de variable et on se ramène au cas précédent.

On finit le calcul.

Pour cette décomposition, on a

$(x-1)^2$ au dénominateur. La forme de la décomposition en éléments simples n'est pas la même que pour l'exercice précédent. Il y a un terme supplémentaire.

Ensuite on propose de calculer les constantes grâce à des astuces et non en procédant par identification.

On continue pour les autres constantes.

On intègre !

lundi 16 décembre 2019

Quelques exercices d'intégration - changement de variables

On rappelle tout d'abord le théorème de changement de variable pour une intégrale.

On commence avec un exemple élémentaire. Il y a 3 étapes à respecter.

1) la nouvelle variable,

2) le calcul de nouvel élément différentiel

3) Les nouvelles bornes de l'intégrale

Si l'on a besoin d'avoir une primitive alors il ne faut pas oublier de revenir dans la variable initiale (voir le terme entre crochet dans la dernière ligne)