On rappelle tout d'abord le théorème de changement de variable pour une intégrale.
On commence avec un exemple élémentaire. Il y a 3 étapes à respecter.
1) la nouvelle variable,
2) le calcul de nouvel élément différentiel
3) Les nouvelles bornes de l'intégrale
Si l'on a besoin d'avoir une primitive alors il ne faut pas oublier de revenir dans la variable initiale (voir le terme entre crochet dans la dernière ligne)
Ici on utilise le fait que $\sin:[-\pi/2, \pi/2]\to [-1,1]$ est une bijection qui est de classe $C^1$. Une fois le changement de variable réalisé, on tombe sur l'intégrale de $\cos^2(u)$. Pour l'intégrer on peut ou bien faire un peu trigonométrie ou bien faire une linéarisation (carré de gauche).
Cette primitive nous permet de calculer l'aire d'un demi-cercle.
On recommence cet exercice en se basant sur le fait que $\cos:[0, \pi] \to [-1,1]$ est une bijection de classe $C^1$. Encore une fois on refait une linéarisation.
On finit le calcul.
On passe à un autre type d'exercice. On commence par une forme canonique.
On fait ensuite apparaître du $1/(1+t^2)$ qui va nous donne de l'arctangente. Puis nous effectuons le changement de variable.
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