On procède à changement de variable affine.
Pour traiter les quotients, quand le dénominateur est de degré 2 et que le Delta est strictement négatif, on procède comme suit :
1) Si le degré numérateur soit de degré supérieur à 2, on fait une division euclidienne.
2) On fait du $u'/u$. Le but est de faire disparaître le terme en $t$. Cela donnera un terme en $\ln$.
3) On utilise la forme canonique du dénominateur et on fait un changement affine pour se ramener à du $1/(1+x^2)$ qui donnera de l'$\arctan$.
Ici le dénominateur a un discriminant strictement positif. On calcule les racines et on invoque la décomposition en éléments simples. Pour calculer les coefficients, on peut procéder par identification et résoudre un système.
On intègre tranquillement. Attention une primitive de $1/(x-a)$ est $\ln(|x-a|)$. Il ne faut pas oublier la valeur absolue !! Ici, on a supposé que $x\geq 0$.
Dans le c), on demande de calculer la limite de $F$ en $+\infty$. Dans le $d)$, on propose de calculer cette intégrale. On pose le changement de variable et on se ramène au cas précédent.
On finit le calcul.
Pour cette décomposition, on a $(x-1)^2$ au dénominateur. La forme de la décomposition en éléments simples n'est pas la même que pour l'exercice précédent. Il y a un terme supplémentaire.
Ensuite on propose de calculer les constantes grâce à des astuces et non en procédant par identification.
On continue pour les autres constantes.
On intègre !
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