La math-à-outils

mercredi 13 décembre 2017

DL d'une fonction inverse

On corrige maintenant le 3) de

Pour le DL, la difficulté réside dans le fait que la fonction réciproque de $f$ n'est pas explicite.

On rappelle qu'on démontre d'abord qu'une fonction est dérivable avant de la dériver.

La "bulle" en bas à gauche permet de se rappeler rapidement l'expression de la dérivée de la fonction inverse. Cette formule est à connaître par coeur !

La continuité de la fonction inverse fait parti du théorème de la bijection (variante du TVI). On pourra se référer à wiki pour les énoncer les preuves.

On rappelle maintenant la démonstration du fait que $f^{-1}$ est dérivable si $f$ l'est. Cela donne à nouveau l'expression obtenue plus haut.

Ici on refait un bootstrap pour montrer que $f^{-1}$ est de classe $C^\infty$.

On passe au DL. Il y a plusieurs méthodes. L'utilisation d'une équation différentielle est possible et cela est déjà traité sur le blog. On procède alors en partant de $f^{-1}(f(x))=x$ (on aurait pu aussi utiliser $f(f^{-1}(x))=x$.

Il est crucial de citer l'unicité du DL ici.

DL hors de 0 - quelques erreurs d'étudiants

On donne deux exercices sur le thème du DL hors de 0. On corrigera le point 3 dans le post suivant.

La remarque en bleu est là pour mettre l'emphase sur le fait que nous travaillons où y est petit (et non x!)

L'erreur ici est de confondre un DL en 1 et un DL en 0. Le premier s'exprime en puissance de $(x-1)$ et le reste en un $o((x-1)^k)$ alors que pour le DL en $0$ est en puissance de $x$ avec un reste en $o(x^k)$.

En rouge, c'est une astuce qui permet de se ramener à un DL en 0 avec l'exponentielle.

En bleu, nous avons une erreur grave. Ici l'étudiant s'appuie sur un DL à l'ordre 1 pour l'exponentielle. En remplaçant le $X$ par le DL en $x$, on voit que le reste en $o(X)$ est seulement un o(x) !

Ici on corrige l'erreur précédente et on pousse le DL de l'exponentielle à l'ordre 2. Cela permet de conclure.

DL un peu plus de pratique + DL à l'aide d'une équation différentielle

Tout d'abord quelques références :

Vous avez ici des exemples vidéos de DL sous forme de produit et de composition.
Vous avez ici un exemple vidéo avec un quotient.
Vous avez ici et là une série d'exercices corrigés de différents niveaux.

Il y a beaucoup de méthodes pour calculer le DL de la fonction tangente en 0. Nous procédons ici par utilisation d'une équation différentielle ordinaire. On remarquera que cette méthode permet d'avoir un DL sans connaître explicitement la solution de l'équation.

L'approche ici est de type bootstrap. On peut traduire ce terme par auto-amélioration. On va partir un certain DL, le rentrer dans l'équation et obtenir un DL pour la dérivé. Cela donnera alors un DL à un ordre supérieur pour la fonction (par intégration du DL). Puis on recommence.

Cela est similaire à la machine pour fabriquer des pâtes ! (vidéo)

Quand on intègre un DL, il ne faut par oublier la constante d'intégration qui est simplement la valeur au point de la fonction qu'on développe.

DL - un échauffement

Ici DL(0,4), veut dire Développement Limité en 0 et à l'ordre 4 (puissance du $x$ dans le développement).

On cherche d'abord la limite avec un équivalent.

La règle de survie quand on a un quotient est de faire apparaître $1/(1-X)$ (ou $1/(1+X))$...).

Ce qui donne le résultat.

Ici on rappelle les règles de calculs des petits o.

jeudi 7 décembre 2017

Convergence de la série exponentielle - Taylor avec reste intégrale

Ici on va exploiter le fait que le reste du développement du Taylor de la fonction exponentielle pour montrer que la série exponentielle converge vers l'exponentielle.

On n'utilisera pas la théorie des séries entières.

On voit ici qu'on a besoin de contrôler le reste en $N$ quand $x$ est fixé. La formule avec reste intégrale à donc un caractère "global" qui n'est pas partagé par un développement limité par exemple.

En effet, celui-ci ne donnerait pas la nature de la dépendance en $N$ mais seulement le fait qu'il est petit, à $N$ fixé, quand $x$ tend vers $0$.

FormuleS de Taylor

Les formules de Taylor à l'ordre 1 correspondent à donner la formule de la tangente à la courbe. Si on cherche à approcher la courbe de façon plus précise, on utilise les polynômes. Plus l'ordre du polynôme approchant est élevé plus on demande de la régularité. Elle est attribuée à Brook Taylor (1712).

Les formules se déclinent en fonction de la nature du reste (différence entre la fonction et l'approximation polynomiale).

Quelques applications ici.

On pourra se référer au wiki pour la liste des développements classiques à connaître.

Un cours vidéo (sans les preuves) est disponible ici. Il dure 1h30 environ. Il permettra de se mettre à jour.

Un cours approprié sur l'utilité des DL suivra (position relative, développement asymptotique,...). C'est la moins gourmande en hypothèse, elle n'utilise que l'hypothèse $n$-fois dérivable.

La formule de Taylor-Lagrange généralise le TAF. On est maintenant à $n+1$-fois dérivable.

C'est la version la plus précise. Elle est aussi la plus gourmande en hypothèse (tout se paye !). Une preuve par récurrence est disponible ici. Dans un autre article du blog on l'utilise pour montrer à la convergence de la série exponentielle vers la fonction exponentielle.

Fonction dérivable et non C1 et tout le tralala

Le but de cet exercice est d'exhiber une fonction qui serait

continue et pas dérivable
dérivable et pas $C^1$

On repasse pour l'occasion sur la notion de prolongée par continuité.