On corrige maintenant le 3) de
Pour le DL, la difficulté réside dans le fait que la fonction réciproque de $f$ n'est pas explicite.
On rappelle qu'on démontre d'abord qu'une fonction est dérivable avant de la dériver.
La "bulle" en bas à gauche permet de se rappeler rapidement l'expression de la dérivée de la fonction inverse. Cette formule est à connaître par coeur !
La continuité de la fonction inverse fait parti du théorème de la bijection (variante du TVI). On pourra se référer à wiki pour les énoncer les preuves.
On rappelle maintenant la démonstration du fait que $f^{-1}$ est dérivable si $f$ l'est. Cela donne à nouveau l'expression obtenue plus haut.
Ici on refait un bootstrap pour montrer que $f^{-1}$ est de classe $C^\infty$.
On passe au DL. Il y a plusieurs méthodes. L'utilisation d'une équation différentielle est possible et cela est déjà traité sur le blog. On procède alors en partant de $f^{-1}(f(x))=x$ (on aurait pu aussi utiliser $f(f^{-1}(x))=x$.
Il est crucial de citer l'unicité du DL ici.
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire