Sur la dérivation de $x\mapsto x^n$

Soit $f: I\to \mathbb{R}$ où $I$ est un interval et $a\in I$.

Le nombre dérivée de $f$ en un point $a$ est donné par

\[\lim_{x\to a} \frac{f(x)- f(a)}{x-a}.\]

Cette limite n'existe pas en générale. S'il existe on le note $f'(a)$. On dit que $f$ est dérivable en $a$.

Quand on demande de calculer le nombre dérivé il faut d'abord montrer que la limite existe avant de mettre le symbole $\lim$ devant le calcul.

Prenons le cas de $f(x)= x^n$ avec $a\in \mathbb{R}$. On a :

\begin{align*}\frac{x^n- a^n}{x-a} &= \frac{(x-a)(x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n)}{x-a}\\ &= (x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n).\end{align*}

Alors que la limite est indéterminée pour le membre de gauche, il n'est pas légal de mettre le symbole limite de prime abord. Cependant grâce à la dernière ligne, il n'y a plus d'indétermination, je peux donc passer à la limite. On continue la rédaction comme suit:

\begin{align*} \lim_{x\to a}\frac{x^n- a^n}{x-a} &= \lim_{x\to a} \underbrace{x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n}_{ n\, {\rm termes}} = n a^n.\end{align*}

Cela étant dit, cette exercice est facile, mais rédactionnel, tant qu'on sait que

\[(x^n- a^n) = (x-a)(x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n).\]

Si l'on ne demande pas de preuve et qu'on cherche juste à s'en souvenir, on peut par exemple faire une division euclidienne et voir comment se comportent les premiers termes :

Si l'on ne veut pas se lancer dans une récurrence, on peut aussi redémontrer cela en s'appuyant sur le cours des suites géométriques comme suit :