Soit f: I\to \mathbb{R} où I est un interval et a\in I.
Le nombre dérivée de f en un point a est donné par
\lim_{x\to a} \frac{f(x)- f(a)}{x-a}.
Cette limite n'existe pas en générale. S'il existe on le note f'(a). On dit que f est dérivable en a.
Quand on demande de calculer le nombre dérivé il faut d'abord montrer que la limite existe avant de mettre le symbole \lim devant le calcul.
Prenons le cas de f(x)= x^n avec a\in \mathbb{R}. On a :
\begin{align*}\frac{x^n- a^n}{x-a} &= \frac{(x-a)(x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n)}{x-a}\\ &= (x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n).\end{align*}
Alors que la limite est indéterminée pour le membre de gauche, il n'est pas légal de mettre le symbole limite de prime abord. Cependant grâce à la dernière ligne, il n'y a plus d'indétermination, je peux donc passer à la limite. On continue la rédaction comme suit:
\begin{align*} \lim_{x\to a}\frac{x^n- a^n}{x-a} &= \lim_{x\to a} \underbrace{x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n}_{ n\, {\rm termes}} = n a^n.\end{align*}
Cela étant dit, cette exercice est facile, mais rédactionnel, tant qu'on sait que
(x^n- a^n) = (x-a)(x^n + x^{n-1}a + x^{n-2} a^2+\ldots + a^n).
Si l'on ne demande pas de preuve et qu'on cherche juste à s'en souvenir, on peut par exemple faire une division euclidienne et voir comment se comportent les premiers termes :
Si l'on ne veut pas se lancer dans une récurrence, on peut aussi redémontrer cela en s'appuyant sur le cours des suites géométriques comme suit :
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