Distance jusqu'à l'horizon - La Terre est ronde !

Préambule :

Le but de cet exercice est de calculer la distance jusqu`à l'horizon visible. La contrainte n'étant pas la capacité visuel du sujet mais bien la courbure de la Terre. Les outils nécessaires sont la dérivation de la fonction racine et le calcul de l'équation d'une tangente à une courbe.

Par delà des maths, cet exercice s'inscrit dans "comment prouver que la Terre n'est pas plate" avec un mini-budget et répond d'une certaine façon à la société de la Terre plate.

Exercice :

On suppose que la Terre est une sphère de rayon $R>0$. On la modélise par la courbe d'équation $f(x):= \sqrt{R^2-x^2}$. Soit $A(0,a)$ la position de nos yeux. Ici $a$ est la hauteur de nos yeux calculée par rapport au centre de la Terre. En particulier $a>R$. 

Soit $g_A$ la tangente à $f$ qui passe par $A$ et qui coupe $f$ en un point $B(x_a,f(x_a))$ d'abscisse positive.

1) Donner le domaine de définition de $f$.

2) Expliquer graphiquement pourquoi $x_a\in ]0, R[$.

3) Expliquer graphiquement le comportement de $A$ quand $x_a$ tend vers $0$ ou vers $R$.

4) Montrer que 

$$g_a(x)= \frac{x_a(x_a-x)}{\sqrt{R^2-x_a^2}} + \sqrt{R^2-x_a^2}.$$

5) En se rappelant que $g_a(0)=a$, déduire que 

$$x_a= \frac{R}{a}\sqrt{a^2-R^2}.$$

6) Montrer que 

$$f(x)= \frac{R^2}{a}.$$

7) Déduire que la distance de $A$ à $B$ est donnée par :

$$d(A,B)= \sqrt{a^2 - R^2}.$$

Application :

En prenant pour rayon de la Terre $R= 6 400$ km (ce qui est un peu plus que la réalité mais plus commode à retenir), on a :

$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{hauteur p/r au sol en mètre} & \text{distance à l'horizon en km}\\ \hline  2 & 5 \\ \hline  20 & 16 \\ \hline  200 & 51 \\ \hline \end{array}$

Distance visible du bas de la dune du Pyla 

Distance visible du haut de la dune du Pyla (100 m)

Pour démontrer que la Terre n'est pas plate, il suffit donc par exemple de se munir de bonnes jumelles et de demander à un bâteau de s'éloigner de la dune. Un premier témoin en bas de la dune le verra donc moins longtemps qu'un témoin tout en haut.

En prenant la vitesse linéaire de rotation de la Terre à Bordeaux ici on trouve 331 m/s. Il y 30 km de plus à faire entre les deux horizons. En faisant un produit en croix on voit que le coucher de soleil, vu du haut de dune du Pyla, se fera environ 90 secondes plus tard que vu d'en bas !

NB : Ici on a fait 35 km -5 km pour trouver 30 km. Ce calcul peut sembler grossier c'est la distance entre $B_{\text{haut}}$ et $B_{\text{bas}}$ qui importe et non (distance entre $A_{\text{haut}}$ et $B_{\text{haut}}$ - distance entre $A_{\text{bas}}$ et $B_{\text{bas}}$) comme on vient de prendre. On peut faire le calcul. On note $O$ le centre de la Terre. Les triangles $OB_{\text{haut}}A_{\text{haut}}$ et $OB_{\text{bas}}A_{\text{bas}}$ sont rectangles en $B_{\text{haut}}$ et $B_{\text{bas}}$ respectivement. Du coup l'angle non-orienté $\widehat{B_{\text{haut}}OA_{\text{haut}}}$ est donné par $\arctan(35/6400)$. De même  $\widehat{B_{\text{bas}}OA_{\text{bas}}}$ est donné par $\arctan(5/6400)$. La longueur "curviligne" (en suivant la courbure de la Terre) entre $B_{\text{haut}}$ et $B_{\text{bas}}$ est alors
$$6400 \times\left(\arctan(35/6400)- \arctan(5/6400)\right)\simeq 30 \text{ km.}$$