Ce point est valable pour les équivalents de suites ou de fonctions en un réel ou bien à l'infini. Pour simplifier la présentation, on prendra le cas de fonctions $f:[1,\infty[ \to \mathbb{R}$ et $g:[1,\infty[ \to \mathbb{R}$.
On trouve le plus souvent :
Définition 1 : On suppose qu'il existe $a\geq 1$ tel que $g(x)\neq 0$ pour tout $x\geq a$. Si $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$. On dit alors que $f$ est équivalent à $g$ en $+\infty$. On note cela par exemple par $f(x)\sim_{x\to + \infty} g(x)$ ou par $f\sim_{+\infty} g$.
Cette définition est correcte
pourvu que l'on suppose que $g(x)\neq 0$ pour $x$ assez grand (pour pouvoir diviser !). Ce n'est pas toujours le cas. Il existe une définition plus générale.
Définition 2 : S'il existe $a\geq 1$ et $l:[a, \infty[\to \mathbb{R}$ tel que $\lim_{x\to \infty} l(x)=1$ et tel que $f(x)= l(x)g(x)$ pour tout $x\geq a$, on dit alors que $f$ est équivalent à $g$ en $+\infty$. On note cela par exemple par $f(x)\sim_{x\to + \infty} g(x)$ ou par $f\sim_{+\infty} g$.
Propriété 1 : On remarque que l'équivalence sur l'ensemble des fonctions $[1,\infty[ \to \mathbb{R}$ est une
relation d'équivalence. On a donc, pour tout $f,g,h : [1,\infty[ \to \mathbb{R}$
- On a $f\sim_{+\infty}f$
- Si $f\sim_{+\infty} g$ alors $g\sim_{+\infty} f$,
- Si $f\sim_{+\infty} g$ et $g\sim_{+\infty} h$ alors $f\sim_{+\infty} h$.
Propriété 2 Si $h:[1,\infty[\to \mathbb{R}$ et si $f \sim_{+\infty} g$ alors $(f\times h) \sim_{+\infty} (g \times h)$. En effet, avec $l$ et $a$ de la définition 2,
\[ f \sim_{+\infty} g \Leftrightarrow f(x) = l(x)\times g(x), \forall x\geq a\]
\[ \implies h(x)f(x) = l(x)\times h(x)g(x), \forall x\geq 1 \Leftrightarrow (f\times h) \sim_{+\infty} (g\times h)\]
Nous allons maintenant lister un nombre de pièges.
Piège 1 : On se place dans le cadre de la définition 2. On suppose que $f\sim_{+\infty} 0$. Donc il existe $a\geq 1$ et $h:[a,\infty[\to \mathbb{R}$ qui tend vers $1$ tel que $f(x)= 0 \times h(x)$ pour tout $x\geq a$. Donc $f(x)=0$ pour tout $x\geq a$.
Piège 2 :
On additionne pas les équivalents (ou alors il faut savoir ce qu'on fait...). En effet, soit $f(x)=1$ et $g(x)= 1+1/x$ pour tout $x\geq 1$.
\[f\sim_{+\infty} g \implies (f-g)\sim_{+\infty}(g-g) \implies (f-g) \sim_{+\infty} 0\]
et donc $(f-g)(x) =0$ pour $x$ assez grand par le piège 1 ! Cela est faut car $1/x \neq 0$ pour tout $x\geq 1$.
Piège 3 :
On compose pas les équivalents (ou alors il faut savoir ce qu'on fait...). On trouve parfois la rédaction suivante sur les copies. Soit $m:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue alors
\[f\sim_{+\infty} g \implies m(f)\sim_{+\infty} m(g).\]
Cet argument est faux ! On le voit par exemple en prenant $m(x)=\exp(x)$. On a alors
\[m(f)\sim_{+\infty} m(g) \Leftrightarrow \lim_{x\to \infty} \frac{\exp(f(x))}{\exp(g(x))}=1\]
\[\Leftrightarrow \lim_{x\to \infty}\exp(f(x)-g(x))=1 \Leftrightarrow \lim_{x\to \infty}f(x)-g(x)=0\]
En prenant $f(x)=x$ et $g(x)=x+1$ on a un contre-exemple.
Pour terminer, voici quelques liens :
