La math-à-outils: 2017

jeudi 21 décembre 2017

DS 2 + corrigé

Voici le sujet du DS 2 et le corrigé.

mardi 19 décembre 2017

Développement asymptotique de tangente

On calcule maintenant le développement asymptotique de $\tan(x)$ en $x= (\pi/2)^-$.

Considérons l'ordre 1. On pose

$g(x):=-1/(x-\pi/2) + (x-\pi/2)\times 1/3$.

Ici on voit que :

$\lim_{x\to(\pi/2)^-} \big(\tan(x)-g(x)\big)\times \frac{1}{(x-\pi/2)^3}=\frac{1}{45}>0$.

On est donc tenté de dire que la courbe représentative de $\tan$ est au dessus mais cela est faux.

Il faut se rappeler que l'on divise par $(x-\pi/2)^3$ qui est $<0$ quand $x<\pi/2$. La courbe représentative de $\tan $ est donc en dessous de $g$ quand $x\to (\pi/2)^-$.

Cependant $(x-\pi/2)^3>0$ quand $x>\pi/2$. La courbe représentative de $\tan $ est donc en dessus de celle d'équation $g$ quand $x\to (\pi/2)^+$.

Une façon plus simple de voir le résultat est de remarquer :

$\lim_{x\to(\pi/2)^-} \big(\tan(x)-g(x)\big)=0^-$

$\lim_{x\to(\pi/2)^+} \big(\tan(x)-g(x)\big)=0^+$

On finit par un tracer sur geogebra.

Développement asymptotique de l'arctan + étude

1) Tout d'abord on montre l'existence de la fonction $\arctan$ comme étant la bijection réciproque de $\tan:]-\pi/2,\pi/2[\to \mathbb{R}$.

2) On explique pourquoi $\arctan$ est dérivable et on calcule sa dérivée.

3) On établit que $\arctan(x)+\arctan(1/x)= \pi/2$, pour tout $x>0$. C'est un grand classique !

4) On calcule le développement asymptotique de $\arctan$ en $+\infty$.

Ensuite, il convient de remarquer que :

$\lim_{x\to \infty} \big(\arctan(x) - (\pi/2 - 1/x)\big)x^2= 1/3 >0$.

On en déduit la position relative de la courbe représentative d'$\arctan$ et de la courbe asymptotique d'équation $x\mapsto \pi/2 - 1/x$. Comme $1/3>0$, on a que la première est au dessus de la courbe asymptotique.

On utilise ici geogebra pour tracer les courbes représentatives de $\arctan$, et des développements asymptotique d'ordre 1 et 2 à l'infini. Avec le calcul d'au dessus on a seulement les positions relatives, à l'infini, des courbes vertes et rouges. Pour avoir le résultat avec la bleue, il faudrait aller plus loin dans le développement.

Développement asymptotique

Le Développement asymptotique est une sorte de développement limité mais avec une autre échelle. Il s'obtient généralement grâce à un développement limité puis à un changement de variable (ce qui explique que les termes du développement ne sont plus forcément des polynômes...). Il permet par exemple d'obtenir la position relative d'une courbe et d'une courbe asymptotique (premier terme du développement asymptotique) et ceux même en l'infini.

On commence avec l'exemple le plus simple.

Cela fonctionne aussi avec les suites.

Ici on utilise le développement asymptotique pour obtenir la position relative à l'infini avec une courbe asymptotique.

Un exemple classique. A retenir l'astuce pour se ramener en 0 pour l'exponentielle en factorisant par $e^1$ et aussi faire attention à ne pas se tromper dans l'ordre du DL d'exponentielle lors de la composition (afin de ne pas perdre le petit o obtenu précédemment).

vendredi 15 décembre 2017

DL à connaitre (cos, sin, tan, ...)

Dans le lien, vous trouverez les DLs à connaitre par coeur (ou à savoir retrouver très rapidement...) et comment retrouver certains DLs important rapidement.

Pour résumer :

Les DLs $\cos(x)$, $\sin(x)$, $\exp(x)$, $\ln(1\pm x)$, $(1+x)^\alpha$, $\frac{1}{1\pm x}$, en $0$ par coeur.
Le DL de $\ln(1+x)$ se retrouve grâce à $\frac{1}{1+x}$ en intégrant
Les DLs de $\cosh(x)$, $\sinh(x)$ se retrouve rapidement avec $\exp(x)$ car ce sont les parties paires et impaires respectivement de la fonction et donc le DL n'est composé que des parties en puissances paires et impaires de exp(x), respectivement.
Le DL de $\arctan(x)$ se retrouve en dérivant la fonction (on obtient $\frac{1}{1+x^2}$) puis en composant le DL de $\frac{1}{1+x}$ avec $x^2$.
Le DL de $\tan(x)$ est plus technique. Son expression à l'ordre $n$ n'est pas à "maitriser" et dépasse de loin le cadre des attentes. Il est important de connaitre par coeur les 3 premiers termes. Dans le lien, vous y trouverez aussi 7 façons différentes pour retrouver le DL de tangente en 0.

Pour un "catalogue" on pourra regarder le formulaire du wiki.

jeudi 14 décembre 2017

DL et développement asymptotique - logiciels

Il est possible d'utiliser des logiciels de calculs formels pour calculer les développements limités ou asymptotiques. Je ne donnerai que des exemples issus de logiciels gratuits.

En ligne, sur wolframalpha, on obtient

Sur geogebra, dans la partie calcul formel, grâce à l'aide en ligne on obtient :

mercredi 13 décembre 2017

Position relative de la tangente et DL

Ici on cherche la position relative de la tangente à courbe représentative du sinus en 0. On procède

par analyse directe, ce qui donnera un résultat global
par DL, ce qui donnera un résultat local

On pourrait se demander l'intérêt d'un DL ici car il donne un résultat moins précis. Il est certes moins précis mais beaucoup plus facile à obtenir en général !

DL d'une fonction inverse

On corrige maintenant le 3) de

Pour le DL, la difficulté réside dans le fait que la fonction réciproque de $f$ n'est pas explicite.

On rappelle qu'on démontre d'abord qu'une fonction est dérivable avant de la dériver.

La "bulle" en bas à gauche permet de se rappeler rapidement l'expression de la dérivée de la fonction inverse. Cette formule est à connaître par coeur !

La continuité de la fonction inverse fait parti du théorème de la bijection (variante du TVI). On pourra se référer à wiki pour les énoncer les preuves.

On rappelle maintenant la démonstration du fait que $f^{-1}$ est dérivable si $f$ l'est. Cela donne à nouveau l'expression obtenue plus haut.

Ici on refait un bootstrap pour montrer que $f^{-1}$ est de classe $C^\infty$.

On passe au DL. Il y a plusieurs méthodes. L'utilisation d'une équation différentielle est possible et cela est déjà traité sur le blog. On procède alors en partant de $f^{-1}(f(x))=x$ (on aurait pu aussi utiliser $f(f^{-1}(x))=x$.

Il est crucial de citer l'unicité du DL ici.

DL hors de 0 - quelques erreurs d'étudiants

On donne deux exercices sur le thème du DL hors de 0. On corrigera le point 3 dans le post suivant.

La remarque en bleu est là pour mettre l'emphase sur le fait que nous travaillons où y est petit (et non x!)

L'erreur ici est de confondre un DL en 1 et un DL en 0. Le premier s'exprime en puissance de $(x-1)$ et le reste en un $o((x-1)^k)$ alors que pour le DL en $0$ est en puissance de $x$ avec un reste en $o(x^k)$.

En rouge, c'est une astuce qui permet de se ramener à un DL en 0 avec l'exponentielle.

En bleu, nous avons une erreur grave. Ici l'étudiant s'appuie sur un DL à l'ordre 1 pour l'exponentielle. En remplaçant le $X$ par le DL en $x$, on voit que le reste en $o(X)$ est seulement un o(x) !

Ici on corrige l'erreur précédente et on pousse le DL de l'exponentielle à l'ordre 2. Cela permet de conclure.

DL un peu plus de pratique + DL à l'aide d'une équation différentielle

Tout d'abord quelques références :

Vous avez ici des exemples vidéos de DL sous forme de produit et de composition.
Vous avez ici un exemple vidéo avec un quotient.
Vous avez ici et là une série d'exercices corrigés de différents niveaux.

Il y a beaucoup de méthodes pour calculer le DL de la fonction tangente en 0. Nous procédons ici par utilisation d'une équation différentielle ordinaire. On remarquera que cette méthode permet d'avoir un DL sans connaître explicitement la solution de l'équation.

L'approche ici est de type bootstrap. On peut traduire ce terme par auto-amélioration. On va partir un certain DL, le rentrer dans l'équation et obtenir un DL pour la dérivé. Cela donnera alors un DL à un ordre supérieur pour la fonction (par intégration du DL). Puis on recommence.

Cela est similaire à la machine pour fabriquer des pâtes ! (vidéo)

Quand on intègre un DL, il ne faut par oublier la constante d'intégration qui est simplement la valeur au point de la fonction qu'on développe.

DL - un échauffement

Ici DL(0,4), veut dire Développement Limité en 0 et à l'ordre 4 (puissance du $x$ dans le développement).

On cherche d'abord la limite avec un équivalent.

La règle de survie quand on a un quotient est de faire apparaître $1/(1-X)$ (ou $1/(1+X))$...).

Ce qui donne le résultat.

Ici on rappelle les règles de calculs des petits o.

jeudi 7 décembre 2017

Convergence de la série exponentielle - Taylor avec reste intégrale

Ici on va exploiter le fait que le reste du développement du Taylor de la fonction exponentielle pour montrer que la série exponentielle converge vers l'exponentielle.

On n'utilisera pas la théorie des séries entières.

On voit ici qu'on a besoin de contrôler le reste en $N$ quand $x$ est fixé. La formule avec reste intégrale à donc un caractère "global" qui n'est pas partagé par un développement limité par exemple.

En effet, celui-ci ne donnerait pas la nature de la dépendance en $N$ mais seulement le fait qu'il est petit, à $N$ fixé, quand $x$ tend vers $0$.

FormuleS de Taylor

Les formules de Taylor à l'ordre 1 correspondent à donner la formule de la tangente à la courbe. Si on cherche à approcher la courbe de façon plus précise, on utilise les polynômes. Plus l'ordre du polynôme approchant est élevé plus on demande de la régularité. Elle est attribuée à Brook Taylor (1712).

Les formules se déclinent en fonction de la nature du reste (différence entre la fonction et l'approximation polynomiale).

Quelques applications ici.

On pourra se référer au wiki pour la liste des développements classiques à connaître.

Un cours vidéo (sans les preuves) est disponible ici. Il dure 1h30 environ. Il permettra de se mettre à jour.

Un cours approprié sur l'utilité des DL suivra (position relative, développement asymptotique,...). C'est la moins gourmande en hypothèse, elle n'utilise que l'hypothèse $n$-fois dérivable.

La formule de Taylor-Lagrange généralise le TAF. On est maintenant à $n+1$-fois dérivable.

C'est la version la plus précise. Elle est aussi la plus gourmande en hypothèse (tout se paye !). Une preuve par récurrence est disponible ici. Dans un autre article du blog on l'utilise pour montrer à la convergence de la série exponentielle vers la fonction exponentielle.