Développement asymptotique de l'arctan + étude

1) Tout d'abord on montre l'existence de la fonction $\arctan$ comme étant la bijection réciproque de $\tan:]-\pi/2,\pi/2[\to \mathbb{R}$. 

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2) On explique pourquoi $\arctan$ est dérivable et on calcule sa dérivée.

3) On établit que $\arctan(x)+\arctan(1/x)= \pi/2$, pour tout $x>0$. C'est un grand classique !

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4) On calcule le développement asymptotique de $\arctan$ en $+\infty$.

Ensuite, il convient de remarquer que :

$\lim_{x\to \infty} \big(\arctan(x) - (\pi/2 - 1/x)\big)x^2= 1/3 >0$.

On en déduit la position relative de la courbe représentative d'$\arctan$ et de la courbe asymptotique d'équation $x\mapsto \pi/2 - 1/x$. Comme $1/3>0$, on a que la première est au dessus de la courbe asymptotique.

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On utilise ici geogebra pour tracer les courbes représentatives de $\arctan$, et des développements asymptotique d'ordre 1 et 2 à l'infini. Avec le calcul d'au dessus on a seulement les positions relatives, à l'infini, des courbes vertes et rouges. Pour avoir le résultat avec la bleue, il faudrait aller plus loin dans le développement.