Développement asymptotique de tangente

On calcule maintenant le développement asymptotique de $\tan(x)$ en $x= (\pi/2)^-$.

---

Considérons l'ordre 1. On pose 

$g(x):=-1/(x-\pi/2) + (x-\pi/2)\times 1/3$.

Ici on voit que :

$\lim_{x\to(\pi/2)^-} \big(\tan(x)-g(x)\big)\times \frac{1}{(x-\pi/2)^3}=\frac{1}{45}>0$.

On est donc tenté de dire que la courbe représentative de $\tan$ est au dessus mais cela est faux. 

Il faut se rappeler que l'on divise par $(x-\pi/2)^3$ qui est $<0$ quand $x<\pi/2$. La courbe représentative de $\tan$ est donc en dessous de $g$ quand $x\to (\pi/2)^-$.

Cependant $(x-\pi/2)^3>0$ quand  $x>\pi/2$. La courbe représentative de $\tan$ est donc en dessus de celle d'équation $g$ quand $x\to (\pi/2)^+$.

Une façon plus simple de voir le résultat est de remarquer :

$\lim_{x\to(\pi/2)^-} \big(\tan(x)-g(x)\big)=0^-$

et

$\lim_{x\to(\pi/2)^+} \big(\tan(x)-g(x)\big)=0^+$

---

On finit par un tracer sur geogebra.