La première étape est de faire baisser le degré du polynôme du dénominateur.
Ici une erreur est faite. En effet l'étape $u'/u$ n'est primordiale que dans le cas où le discriminant du dénominateur est négatif ou nul. Il aurait fallut directement chercher $a$ et $b$ tel que le quotient soit égal à
\[\frac{a}{x- \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}+ \frac{b}{x- \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\]
On va maintenant expliquer une méthode pour trouver $a$ et $b$. La méthode la plus simple est de mettre tout sur le même dénominateur et d'identifier les termes avec le membres de gauche. Nous présenterons une autre astuce.
Ici cette astuce marche pour tous les termes de type $\frac{1}{x-\lambda}$ quand il n'y a pas de $\frac{1}{(x-\lambda)^2}$.
On recommence. Cette fois on voit que le $\Delta$ de dénominateur est strictement négatif.
L'étape $u'/u$ est primordiale.
Comme $\Delta<0$, on vise d'obtenir un dénominateur sous le forme $X^2+1$. En l'intégrant nous aurons alors de l'arctangente.
On se focalise maintenant sur un autre terme apparaissant des la décomposition en éléments simples.
On rappelle au passage la méthode de linéarisation.
La conclusion est simple.
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