Voici quelques exercices types pour les fonctions réciproques trigonométriques
Quand on veut démontrer qu'une fonction (ici le membre de gauche) est constante, il suffit de montrer que sa dérivée est nulle. C'est ce qu'on fait. Pour trouver la valeur de la dérivée, on évalue en un point.
Cet exercice est l'analogue direct en version $\arctan$.
Pour trouver la constante, on peut par exemple évaluer en $\pi/4$ ou bien regarder la limite quand $x\to \infty$.
On voit que les deux compositions n'ont pas le même domaine de définition ! L'une n'est définie que sur $[-1,1]$ alors que l'autre l'est sur $\mathbb{R}$. On travaille sur des intervalles de longueur $\pi$ pour trouver les bonnes formulations.
C'est une intégrale classique. On passe en forme canonique.
Il y a juste un changement de variable affine à faire et on retombe sur du $\arcsin$. On aurait pu choisir du $\arccos$ pour intégrer aussi.
Enfin on remarque que quand on change le signe sous la racine, on sort du contexte des fonctions trigonométriques inverses. On passe en hyperbolique.
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