Quelques limites

On commence facile. La règle de survie est de factoriser par le plus grand terme. Ici c'est $x$.

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Ici on repère le plus grand terme qui se cache cette fois à l'intérieur du $\ln$. C'est une nouvelle fois $x$. 

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Même règle de survie. On factorise en haut et en bas par les plus grands termes. Attention pour justifier que $\ln(x)/x$ tend vers $0$ en $+\infty$, on invoque les croissances comparées (C.C. sur le tableau).

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Attention ici on a une forme indéterminée du type $1^\infty$. La difficulté est de repérer que l'on a affaire à une forme inderterminée de type quotient différentielle : $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tend vers $f'(a)$ quand $x\to a$ et $f$ est dérivable en $a$. 

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Pour celui-là, pour être plus à l'aise (pas une obligation), on se place en $+\infty$ grâce à un changement de variable. On utilise une nouvelle fois la croissance comparée. 

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La difficulté ici est que le cours sur les croissances comparées est formulée avec du $X^\alpha e^X$. Il faut donc faire sortir le $X= 1+\sqrt{x}$ et trouver le bon $\alpha$. 

On fait tout d'abord un essai non concluant (avec $\alpha=1$), il nous ramène à une forme indéterminée. 

On recommence avec $\alpha=200$. L'idée est que $X^{200}$ est du même ordre que $x^{100}$ à l'infini. 

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c'est la justification de la limite du dessus.

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Pour finir on a de nouveau la même difficulté, il faut faire apparaître du $X^\alpha\ln(X)$. 

On se place en $+\infty$ par commodité. Ici $\alpha =1$ convient.