Les propriétés générales des fonctions $\cosh$ et $\sinh$ sont laissées en exercice.
Ici on montre que $\cosh$ est une bijection de $[0, \infty[$ dans $[1, \infty[$. Il faut bien faire attention au fait que le point $0$ suive de la continuité de $\cosh$, attention on a $\cosh'(0)=0$.
On peut maintenant définir la fonction réciproque. La continuité est automatique. Pour la dérivabilité, on fait bien attention que la dérivée de la fonction réciproque existe quand on a pas une tangente plate pour la fonction. Géométriquement, on voit que cela implique d'avoir une tangente verticale et donc exclus le point du domaine de définition de la dérivée.
Maintenant qu'on a prouvé que la fonction est dérivable, on passe au calcul de sa dérivée.
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